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1、试题题目：给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是a2..
发布人：繁体字网（） 发布时间： 07:30:00
给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为3．（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求AB?AD的取值范围；（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由．
&&试题来源：黄埔区一模
&&试题题型：解答题
&&试题难度：中档
&&适用学段：高中
&&考察重点：向量数量积的运算
2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）由题意可得：a=3，c=2，b=1，∴r=(3)2+12=2．∴椭圆C的方程为x23+y2=1，其“准圆”的方程为x2+y2=4；（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．设点B（x0，y0），则D（x0，-y0）．∴AB?AD=（x0-2，y0）?（x0-2，-y0）=(x0-2)2-y02，∵点B在椭圆x23+y2=1上，∴x023+y02=1，∴y02=1-x023，∴AD?AB=(x0-2)2-1+x023=43(x0-32)2，∵-3＜x0＜3，∴0≤43(x0-32)2＜7+43，∴0≤AD?AB＜7+43，即AD?AB的取值范围为[0，7+43)（3）①当过准圆上点P的直线l与椭圆相切且其中一条直线的斜率为0而另一条斜率不存在时，则点P为(±3，±1)，此时l1⊥l2；②当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，设点P（x0，y0），直线l的方程为m（y-y0）=x-x0．联立m(y-y0)=x-x0x23+y2=1消去x得到关于y的一元二次方程：(3+m2)y2+(2mx0-2m2y0)y+m2y02+x02-2mx0y0-3=0，∴△=(2mx0-2m2y0)2-4(3+m2)(m2y02+x02-2mx0y0-3)=0，化为(y02-1)m2-2mx0y0+x02-3=0，∵y02-1≠0，m存在，∴m1m2=x02-3y02-1．∵点P在准圆上，∴x02+y02=4，∴x02-3=1-y02，∴m1m2═-1．即直线l1，l2的斜率kl1?kl2=-1，因此当过准圆上的点P的直线l的斜率存在不为0且与椭圆相切时，直线l1⊥l2．综上可知：在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，l1⊥l2．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是a2..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。
4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：
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＞＞＞（本题满分16分）已知椭圆(a&b&0)（1）当椭圆的离心率，一条..
（本题满分16分）已知椭圆(a&b&0)（1）当椭圆的离心率，一条准线方程为x＝4 时，求椭圆方程；（2）设是椭圆上一点，在（1）的条件下，求的最大值及相应的P点坐标。（3）过B(0,－b)作椭圆(a&b&0)的弦，若弦长的最大值不是2b，求椭圆离心率的取值范围。
题型：解答题难度：偏易来源：不详
（1）（2）（3）解：（1），椭圆方程为（2）因为在椭圆上，所以可设，则，，此时，相应的P点坐标为。（3）设弦为BP，其中P(x,y)，＝，因为BP的最大值不是2b，又，所以f（y）不是在y=b时取最大值，而是在对称轴处取最大值，所以，所以，解得离心率
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据魔方格专家权威分析，试题“（本题满分16分）已知椭圆(a&b&0)（1）当椭圆的离心率，一条..”主要考查你对&&椭圆的定义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
椭圆的定义
椭圆的第一定义：
平面内与两个定点为F1，F2的距离的和等于常数（大于）的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。特别地，当常数等于时，轨迹是线段F1F2，当常数小于时，无轨迹。
椭圆的第二定义：
平面内到定点F的距离和到定直线l的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹，叫做椭圆，定点F叫椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，e叫椭圆的离心率。椭圆的定义应该包含几个要素：
利用椭圆的定义解题：
当题目中出现一点在椭圆上的条件时，注意使用定义
发现相似题
与“（本题满分16分）已知椭圆(a&b&0)（1）当椭圆的离心率，一条..”考查相似的试题有：
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