答案：解析：分析　 直接证难以入手，不妨从要证不等式出发，即改证为：pf(x)+qf(y)－f(px+qy)≥0对于任意实数x，y都成立的充要条件是0≤p≤1．
证明：　 因为f(x)=x2+ax+b，p+q=1，所以
pf(x)+qf(y)－f(px+qy)
=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)－(px+qy)2－a(px+qy)－b
=(p－p2)x2－2pqxy+(q－q2)y2+(p+q)b－b
=p(1－p)x2－2pqxy+q(1－q)y2
=pqx2－2pqxy+q(1－q)y2
=pq(x－y)2．
(1)必要性若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)，则pq(x－y)2≥0．
由于(x－y)2≥0，所以pq≥0，即p(1－p)≥0，所以0≤p≤1．
(2)充分性 若0≤p≤1，则p(1－p)≥0．
又(x－y)2≥0，所以pf(x)+qf(y)－f(px+qy)≥0，
即pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)．
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科目：高中数学
已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
（;上海模拟）已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．求证：f1(x)+f2(x)＞4c2k(k+c)．
科目：高中数学
来源：浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题
已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
科目：高中数学
来源：上海模拟
题型：解答题
已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．求证：f1(x)+f2(x)＞4c2k(k+c)．
科目：高中数学
来源：学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷（理科）（解析版）
题型：选择题
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数设f（x）是连续函数，（1）利用定义证明函数F（x）=f（t）dt可导，且F′（x）=f（x）．（2）当f（x）是以2为周期的周期函数时，证明函数G（x）=2∫0xf（t）dt-x∫02f（t）dt也是以2为周期的周期函数．
（1）∵，其中f（x）是连续函数∴=其中ξ∈（x，x+△x），当△x→0时，ξ→x∴（2）∵G（x）=2∫0xf（t）dt-x∫02f（t）dt∴∴=∴[G（x+2）-G（x）]′=2[f（x+2）-f（x）]而f（x）是以2为周期的周期函数∴f（x+2）-f（x）=0∴[G（x+2）-G（x）]′=0∴G（x+2）-G（x）=C又当x=0时，∴C=0即G（x）=G（x+2）∴G（x）是以2为周期的周期函数
为您推荐：
（1）直接用求导公式即可证明；（2）根据定义，只需证明G（x+2）=G（x），G（x+2）和G（x）的表达式都可以写出来，都含有变上限积分函数，因此可以考虑用G（x+2）-G（x）的导数为0，则G（x+2）-G（x）=C（常数），再证明C为0即可
本题考点：
二重积分中值定理；函数的周期性；导数的概念．
考点点评：
第二问的证明有多种方法，也可以用积分的换元法来证．解答过程中给出的方法是利用第一问的结论“变上限积分函数的导数”来证的．
扫描下载二维码已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R),对任意x∈R,恒有2x+b≤f(x).证明当x≥0时,f（x）≤(x+c)^2;求第二问答案：若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c^2-b^2)恒成立,求M的最小值
这是2010年高校招生考试（理数）第20题/view/0c7e.html祝你学习顺利!
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