& 勾股定理知识点 & “如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，...”习题详情
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如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=1，BC=2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，连接PA、PE、AM，EF与PA相交于O．（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；（2）记∠EPM=a，△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2．①求证：S1tana2=18PA2；②设AN=x，y=S1-S2tana2，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围．　
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2011-珠海
分析与解答
习题“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=1，BC=2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过P作PN∥BC交...”的分析与解答如下所示：
（1）根据题意，结合菱形的判定定理即可推出四边形AMPE为菱形，（2）①四边形AMPE为菱形，即可得：∠MAP=12α，S1=12OAoOM，OA=12PA，又由在Rt△AOM中，tanα2=OMOA，求得OM=OAotanα2；则可得S1tana2=18PA2；②首先过点D作DH⊥BC于H，则DK⊥PN，BH=AB=AD=DH=1，DK=AN=x，求得PN=1+x，在Rt△ANP中，由AP2=AN2+PN2，可求得AP2的值，然后过E作PM⊥EG于G，令△EGM的面积为S，由△EGM∽△AOM，即可得S=4x2AP2S1，则问题得解．
解：（1）答案为：菱形；（2）①证明：∵四边形AMPE为菱形，∴∠MAP=12α，S1=12OAoOM，OA=12PA，∵在Rt△AOM中，tanα2=OMOA，∴OM=OAotanα2；∴S1=12OAoOM=12×12PA×12PAotanα2=18PA2otanα2∴S1tana2=18PA2；②过点D作DH⊥BC于H，交PN于K．则：DK⊥PN，BH=AB=AD=DH=1，DK=AN=x，∵CH=BC-BH=2-1=1，∴CH=DH，∴PK=DK=x，∴PN=1+x，在Rt△ANP中，AP2=AN2+PN2=x2+（1+x）2=2x2+2x+1．过E作EG⊥PM于G，令△EGM的面积为S，∵△EGM∽△AOM，∴SS12=x214AP2=4x2AP2，则S=4x2AP2S1，∵△AOE由△POE折叠而成，∴AE=PE，AP⊥EM，∵四边形AMPE是菱形，∴AN=DK=x，如图，当E与D重合时，∵PN=1+x，AN=x，AM=AD=PM=PD=1，∴MN=PN-PM=1+x-1=x，∴AN=MN，在Rt△AMN中，AN2+MN2=AM2，∴x2+x2=12，∴x=√22，∴0＜x＜√22，∵四边形ANGE的面积等于菱形AMPE的面积，∴4S1=2S1+S2+S，即2S1=S2+S，∴S1-S2=S-S1=4x2AP2S1-S1=（4x2AP2-1）S1，∴y=S1-S2tanα2=（4x2AP2-1）×S1tanα2=（4x2AP2-1）×18AP2=18（4x2-AP2），∴y=14x2-14x-18（-316≤y＜-18）．
此题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，三角函数的性质以及二次函数的知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=1，BC=2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过P作P...
错误类型：
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经过分析，习题“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=1，BC=2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过P作PN∥BC交...”主要考察你对“勾股定理”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
与“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=1，BC=2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过P作PN∥BC交...”相似的题目：
一等腰三角形的底边长为8，一腰长为5，则其底边上的高为&&&&6310253
如图，以直角三角形两直角边为边长的两个正方形面积分别为25㎡和144㎡，则以斜边为边长的正方形面积为&&&&60㎡119㎡169㎡289㎡
有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，则图形中所有的正方形的面积和是&&&&．
“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，...”的最新评论
该知识点好题
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欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=1，BC=2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，连接PA、PE、AM，EF与PA相交于O．（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；（2）记∠EPM=a，△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2．①求证：S1/tana2=又1/8PA2；②设AN=x，y=S1-S2/tana2，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=1，BC=2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，连接PA、PE、AM，EF与PA相交于O．（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；（2）记∠EPM=a，△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2．①求证：S1/tana2=又1/8PA2；②设AN=x，y=S1-S2/tana2，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围．”相似的习题。请尝试解决以下问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌．
∴=EF，故DE+BF=EF．
（2）运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，且∠BAE=45°，DE=4，求BE的长．
（3）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式BD2+CE2=DE2始终成立，请说明理由．
提 示 请您或[登录]之后查看试题解析 惊喜：新手机注册免费送10天VIP和20个雨点！无广告查看试题解析、半价提问& 平行四边形的判定知识点 & “如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是...”习题详情
270位同学学习过此题，做题成功率86.6%
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=CE=4√2，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）求梯形ABCD的面积；（2）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（3）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=CE=4根号2，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）求梯形ABCD的面积；（2）当x的值为多少时，以点P、A...”的分析与解答如下所示：
（1）首先分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，易得四边形AMND是矩形，由CD=CE=4√2，∠C=45°，可求得DN的长，继而求得梯形ABCD的面积；（2）由（1）可得：BM=CB-CN-MN=3，若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，则∠APC=90°或∠DEB=90°，那么P与M重合或E与N重合，即可求出此时的x的值；（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度．
解：（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，则四边形AMND是矩形，∴AM=DN，AD=MN=5，而CD=4√2，∠C=45°，∴DN=CN=CDosin∠C=4√2×√22=4=AM，∴S梯形ABCD=12（AD+BC）oDN=12×（5+12）×4=34；（2）由（1）可得：BM=CB-CN-MN=3，若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，则∠APC=90°或∠DEB=90°，当∠APC=90°时，∴P与M重合，∴BP=BM=3；当∠DPB=90°时，P与N重合，∴BP=BN=8；故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：①当P在E的左边，∵E是BC的中点，∴BE=6，∴BP=BE-PE=6-5=1；②当P在E的右边，BP=BE+PE=6+5=11；故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．
此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
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如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=CE=4根号2，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）求梯形ABCD的面积；（2）当x的值为多少时，...
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经过分析，习题“如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=CE=4根号2，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）求梯形ABCD的面积；（2）当x的值为多少时，以点P、A...”主要考察你对“平行四边形的判定”
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平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．
与“如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=CE=4根号2，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）求梯形ABCD的面积；（2）当x的值为多少时，以点P、A...”相似的题目：
下列判断中正确的是&&&&一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形若等腰三角形的两边长分别是3和6，则周长为15或12三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
下列命题中错误的是&&&&平行四边形的对边相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形矩形的对角线相等对角线相等的四边形是矩形
一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一组对边相等；③一组对边平行且相等；④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；不能判定为平行四边形的是&&&&①②③④
“如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是...”的最新评论
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该知识点易错题
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=CE=4根号2，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）求梯形ABCD的面积；（2）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（3）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=CE=4根号2，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）求梯形ABCD的面积；（2）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（3）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．”相似的习题。（2012o鞍山）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是（　　）
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