袋中有10个大小相同的球，其中6个白球，4个红球，甲、乙顺次各摸一球，均不放回，求下列事件的概率。_百度知道
袋中有10个大小相同的球，其中6个白球，4个红球，甲、乙顺次各摸一球，均不放回，求下列事件的概率。
一定采纳； （2）甲，求下列事件的概率，乙摸到红球，甲。 （1）甲摸到红球、乙两人至少有一人摸到白球、乙顺次各摸一球，4个红球，其中6个白球袋中有10个大小相同的球，均不放回。 请给出详细的解题过程
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高考数学排列组合二项式定理
排列、组合、二项式定理和概率统计知识结构高考能力要求　　1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．　　2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．　　3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．　　4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．　　5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．　　6．了解等可能事件的概率的意义，并会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率．　　7．了解互斥事件和相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．　　8．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．　　9．了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列．　　10．了解离散型随机变量的期望、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求期望与方差．　　11．了解连续型随机变量的概率密度的意义．　　12．会用简单随机抽样，系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本．　　13．会用S2去估计总体方差，会用S去估计总体标准差．　　14．会用样本频率分布去估计总体分布．了解线性回归的方法和简单应用．　　高考热点分析　　排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯"重复"或"遗漏"的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．　　二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．　　概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．　　纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活．　　新教材中增添了"概率"及"概率统计"的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占12分左右，今年在此处出题可能性也较大．　　高考复习建议　　本章内容相对独立性较强，并且密切联系实际应用性较强，分为四个部分：排列组合、二项式定理、概率和概率统计．具有概念性强灵活性强，思维方法新颖等特点，要注意从加深对概念的理解和掌握内在联系与区别方面下功夫，四部分中，排列、组合是基础和工具．　　本章主要的数学思想有：化归、分类、类比、对应思想，极限思想和模型化思维方法．学习时应注意发散思维和逆向思维，通过分类分步把复杂问题分解，适时地应用集合、整体思想，从全集、补集等入手，把问题简化．10．1
两个计数原理知识要点　　1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，......，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．　　2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，......，做n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．　　3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．例题讲练　　【例1】
高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人　　(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？　　(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？　　(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？　　(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例2】
(1) 将5封信投入6个信箱，有多少种不同的投法？　　(2) 设I＝{1,2,3,4,5,6}，A与B都是I的子集，A∩B＝{1,3,5}，则称(A,B)为理想配，所有理想配共有多少种？　　(3) 随着电讯事业的发展，许多地方电话号码升位，若某地由原来7位电话号码升为8位电话号码，问升位后可多装多少门电话机？(电话号码首位不为0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例3】
从0，1，2，3，4，5六个数字中每次取3个不同的数字，可以组成多少个没有重复数字的?　　（1）3位数　　（2）3位奇数　　（3）3位偶数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】
(1)用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？ABDC(2)将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，使同一棱上两端点异色，如果只有5种颜色可供选择，那么不同的染色方法总数是多少？小结归纳　　两个原理的区别在于，前者每次得到的是最后的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成．基础训练题一、选择题1． 某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站下车，乘客下车的可能方式有(
)种　　A．510
B．105　　C．50
D．以上都不对2． 把10个苹果分成三份，要求每份至少1个，至多5个，则不同的分法种数为
）　　A．4
B．5　　C．6
D．73． 某体育彩票规定：从01到36共36个号码中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全共需(
)元钱A．3360
B．6720C．4320
D．86404． 某银行储蓄卡的密码是４位数码，某人采用千位百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码．当积为一个数时．十位上的数字选０，千位百位上的数字都能取0，这样设计出来的密码个数共有
B．99个C．100个
D．112个5． （06浙江理）函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f[f(x)]＝f(x)，则这样的函数个数共有
）　　A．1个
B．4个　　C．8个
D．10个6． （05江苏理）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产　　品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓　　库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产　　品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为(1)(2)(3)　　(4)的4个仓库存放8种化工产品，那么安全存放的不　　同方法数为　　A．96
B．48　　C．24
D．0　　二、填空题7． 集合Ｍ＝{a， b， c}，N＝{－1， 0， 1}从集合M到集合N的映射满足f (b)＋f (c)＝f (a)，则这样的映射个数为8． 已知直线ax＋by＋1＝0中的a， b是取自集合{－3， －2，－1，0，1，2}中的２个不同的元素，并且直线L的倾斜角大于60°，那么符合以上条件的直线L共有
．9． 将3种作物种植在如图所示的5块实验田里，每块种植一种作物，且相邻的实验田不能种植同一种作物，不同的种植方法有
种；若三种作物要全部种下去，则不同的种植方法有
种．10．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能载种同样颜色的花，不同的载种方法有
种.　　　　三、解答题11．某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案．12．①从集合{－3, －2, －1, 0, 1, 2, 3}中任取3个不同的数作为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数．如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？② 甲、乙两个自然数的最大公约数为60，则甲、乙两数的公约数共有多少个？13．在1至20共20个整数中任取两个数相加，使其和大于20的不同取法共有多少种？提高训练题14．从0，1，2，3，4，5六个数字中每次取4个不同的数字组成四位数，求所有这样的数字中(1) 不大于4321的有多少个．(2) 按从小到大排列第100个数是多少．15．设集合I＝{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中的最小数大于A中的最大数，则不同选择方法有多少种？10．2
列知识要点　　1．一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．　　排列的定义包含两个基本内容：一是"取出元素"；二是"按照一定顺序排列"．因此当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列．　　2．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从个为不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．排列数公式Amn＝
．　　这里m≤n，其中等式的右边是
个连续的自然数相乘，最大的是
，最小的是
．　　3．n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，全排列数用Ann表示，它等于自然数从1到n的连乘积，自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用
表示．　　4．解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、枚举法、对称法、隔板法．　　5．排列问题常用框图来处理．　　例题讲练　　【例1】
(1) 元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有多少种？　　(2) 同一排6张编号1，2，3，4，5，6的电影票分给4人，每人至少1张，至多2张，且这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？　　（3）（06湖南理14）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这6项工程的不同排法有多少种数？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例2】
5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数　　(1) 甲站正中间的排法有
种，甲不站在正中间的排法有
种．　　(2) 甲、乙相邻的排法有
种，甲乙丙三人在一起的排法有
种．　　(3) 甲站在乙前的排法有
种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有
种．丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有
种．　　(4) 甲乙不站两头的排法有
种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有
种．　　(5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种．　　(6) 女生互不相邻的排法有
种，男女相间的排法有
种．　　(7) 甲与乙、丙都不相邻的排法有
种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有
种．　　(8) 甲乙丙三人至少有1人在两端的排法有
种．　　(9) 甲乙之间有且只有4人的排法有
种．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例3】
在之间有多少个四个数字均不相同的偶数　　　　【例4】
(1) 从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛，问其中不跑第一棒的安排方法有多少种？　　(2) 一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？小结归纳　　1．解排列应用问题首先必须认真分析题意．看能否把问题归结为排队（即排列）问题，较简单的排列问题常用框图或树型来处理（注意也有个别问题不能用框图来处理 如不相邻问题等）　　2．解有约束条件的排列问题的几种策略．　　a. 特殊元素，特殊位置优先定位（也有个别例外情况，见例1）　　b. 相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理　　c. 正难则反，等价转换　　3．解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题角度，通过练习要认真理会解排列问题的各种方法．　　4．由于排列问题的结果一般数目较大．不易直接验证，解题时要深入分析，严密周详，要防止重复和遗漏．为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同．基础训练题　　一、选择题1． 设且a<20，则(27－a)(28－a)(29－a)(30－a)...(34－a)
D．2． 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有
）　　A．280种
B．240种　　C．180种
D．96种3． （06重庆文）高三（一）班学要安排毕业晚会的4个　　音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，　　要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（
）　　A．1800
B．3600　　C．4320
D．50404． 要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数有
D．5． 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆４种蔬菜品种中选出３种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有
）　　A．24种
B．18种　　C．12种
D．6种6． （06湖南理）某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该 外商不同的投资方案有
）　　A．16种
B．36种　　C．42种
D．60种　　二、填空题7． 5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数是________种．8． （06天津文）用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有
个（用数字作答）．9． （06湖北文）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一歌手不最后一个出场，不同排法的总数是
.（用数字作答）10．乒乓球队的10名队员中，有3名主力队员，派其中5人参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五的位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）　　　　三、解答题11．从包含甲的若干名同学中选出4人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？12．3张卡片的正反面上分别有数字0和1，3和4，5和6，当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数（6可做9用）13．某文艺团体下基层进行宣传演出原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些的相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这两个小品节目在节目表中既不排在排头也不排在排尾，问有多少种不同的插入方法．提高训练题14．某班每天需上课A、B、C、D、E、F六科，上午四节，下午两节，若上午第一节不排D课，A课需排上午，F课排下午，问有多少种不同的排课法15．(1)（06山东理9）已知集合A＝{5}，B＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为　　A．33
B．34 C．35
D．36(2)在由数字1、2、3、4、5组成的所有没有得复数字的5位数中大于23145，且小于43521的数字共有　　A．56个
B．57个　　C．58个
D．60个10．3
合知识要点　　1．一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．　　2．排列与组合的共同点，就是都要"从n个不同元素中，任取个元素"，而不同点就是前者要"按一定的顺序成一列"，而后者却是"不论怎样的顺序并成一组"．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．　　组合数公式＝
＝　　在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续个自然数之积，最大的数为，最小的数是，分母是，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式＝
，它的分子是，分母是与的积．　　3．组合数性质：　　①　　②　　③　　④　　⑤例题讲练　　【例1】
某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动.　　(1) 如果班长和副班长必须在内有多少种选派法.　　(2) 如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法.　　(3) 如果班长和副班长都不在内有多少种派法.　　(4) 如果班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.　　【例2】
(1) (x+y+z)2展开后，展开式中x5y3z2项系数为多少？　　(2) （06江苏理13）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有多少种不同的排法？　　(3) 已知空间6个点，其中任意4点不共面，现过任意两点连直线，可得多少对异面直线？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例3】
(1) 把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？　　(2) 以平行六面体ABCD-A1B1C1D21的任意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面情况有多少种？　　(3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？　　【例4】
四面体的顶点和各棱中点共有10个点，　　(1) 在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？　　(2) 在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法．　　小结归纳　　1．解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组合问题．区别组合问题和排列问题的唯一标准是"顺序"．需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序的的才是组合问题．　　2．要注意准确理解"有且仅有" "至多""至少""全是""都不是""不都是"等词语的确切含义．　　3．组合问题的一般可抽象为"选派"模型来处理．另外有的问题也可用框图结合对应思想来处理（见例1-（2））．　　4．避免重复和遗漏．基础训练题一、选择题1． 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法有
）　　A．种
B．种　　C．()种 D．()种2． 满足＝的x值是
）　　A．2和3
B．2、3和5　　C．3和5
D．33． 有7名同学排成一排，甲身高最高，排在中间，其余6名同学身高皆不一样，甲的左边与右边以身高为准，由高到低排列，排法种数为
）　　A．10
B．20　　C．30
D．404． 从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有
）　　A．140
B．120　　C．35
D．345． 某校高二年级已有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到年级的两个班级中去，且每个班安排2名，则不同的安排方案种数为
）　　A．A62C42
B．A62C42　　C．A62A42
D．2A626． 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有 （
）　　A．210种
B．420种　　C．630种
D．840种　　二、填空题7． 现有9人分成3组，若三组人数分别为4人，3人，2人则不同分组方法数为
若三组人数均为三人，则不同分组方法数为
若三组人数分别为5人，2人，2人则不同分组方法数为
．8． 四个不同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的四个盒上，则恰有一个空盒的放法共有
种.9． 圆周上有8个等分圆周的点，以这些点为顶点的钝角三角形或锐角三角形共有
个.10．马路上有编号为1， 2， 3， 4.....10的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有_______种.　　三、解答题11．(1) 求的值　　(2) 解不等式12．如图，某区有7条南北向街道，5条东西向街道(1) 图中有多少个矩形？　
(2) 某人从A到B有多少种最近走法？　　　　　　　　　　　　13．已知集合A和集合B各含12个元素，AB含4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C的个数：(1) CA∩B且C含3个元素；(2) C∩A≠φ.提高训练题14．在1， 2， 3...100这100个数中任选不同的两个数，求满足下列条件时各有多少种不同的取法．(1) 其和是3的倍数(2) 其差是3的倍数(大数减小数).(3) 相加，共有多少个不同的和.(4) 相乘，使其积为7的倍数.15．某校邀请6位学生的父母共12位，请这12位家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，问有多少种不同的选择法?10．4
排列组合综合题知识要点　　1．解排列组合题中常用的方法有直接法、间接法、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、插空法、 枚举法、隔板法、对称法；常用的数学思想主要有分类讨论、思想转化、化归思想、对应思想.　　2．解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则(1)按元素性质进行分类(2)按事情发生的过程进行分步.　　3．处理排列组合综合性问题时一般方法是先取(选)后排，但有时也可以边取(选)边排.　　4．对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分步，但对于综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题.例题讲练　　【例1】
(1) 4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定；每位同学必须从甲乙两道题中任选一题，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分，若4位同学的总分为0分，则4位同学不同的得分情况的种数是　　A．48
B．36 C．24 D．18　　(2) 从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一个人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有　　A．300种
B．240种　　C．144种
D．96种　　【例2】
(1) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？(2) 5名乒乓选手的球队中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？　　【例3】
有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒子内，求下列各种情况下不同放法　　(1) 总共有多少不同放法？　　(2) 恰有1个盒子不放球有多少不同放法？　　(3) 恰有1个盒子有两球有多少不同放法？　　(4) 恰有两个盒子不放球有多少不同放法？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】
从集合{1，2，3，......20}中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？　　　　小结归纳　　1．排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解.　　2．排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题.　　3．对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解.基础训练题一、选择题1． 男女共8人，从中选男生2人和女生1人站成一排，不同的站法共有180中，则其中女生的人数为（
B．3或2C．4
D．以上都不对2． 一排共8个座位，安排甲，乙，丙三人按如下方式就坐，每人左，右两边都有空位，且甲必须在乙、丙之间，则不同的坐标共有
）　　A．8种
B．24种　　C．40种
D．120种3． 某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有
）　　A．45种
B．36种　　C．28种
D．25种4． 有3种不同的树苗需要种植在一条直道的一侧，相邻的两棵树不能是同一种树苗，若第一棵种下是甲种树苗，那么第5棵树又恰好是甲种树苗的种法共有（
）　　A．8种
B．10种　　C．12种
D．6种5． 某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目，如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是
）　　A．504
B．210　　C．336
D．1206． 12名同学到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有
B．3　　C．
D．　　　　二、填空题7． 一份试卷有10道题，分为AB两组，每组5题，要求考生做6题，但每组最多选4题，则每位考生有____种不同的选择方案．8． 真线x＝m, y＝x将圆面x2＋y2≤4分成若干块，现在用5种不同的颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的涂法，则实m的取值范围是
.9． 将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有______种.10．氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成，研究人员试验每次改变其中三种氨基酸的位置，其他四种位置不变，则研究人员需做不同实验的总次数为
.三、解答题11．（2004?湖南）从正方体的八个顶点中任取三个为顶点作三角形，求其中直角三角形的个数？12．某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球 队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种？13．（2004?重庆）某校高中三年级举行一次演讲比赛共有10人参赛，其中一班有3位，二班有两位．若采用抽签的方法确定他们的演讲顺序，则一班3位同学恰好被排在一起，而二班的两位同学没有被排在一起的方法是多少种？提高训练题14．连续6次射击，把每次命中与否按顺序记录下来　　(1) 总共可能出现多少种不同结果?　　(2) 恰好命中３次的结果有多少种?　　(3) 命中３次恰有两次连续击中的结果有多少种?　　15．某产品有4只次品和6只正品，每只都可区分，现每次取出一只测试，直到4只次品全部测出为止，求第４只次品在第五次测试时被测出的不同情形有多少种．10．5
二项式定理知识要点　　1．(a＋b)n＝
(n∈N)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数
叫做二项式系数．式中的
叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项公式Tr＋1＝
是表示展开式的第r＋1项．　　2．二项式定理中，二项式系数的性质有：　　① 在二项式展开式中，与首末两项"等距离"的两项二项式系数相等，即：　　　　② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，中间一项，即：　　第
项的二项式系数最大，为
；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第
项，它们的二项式系数最大，为　　③ 二项式系数的和等于---------，即------------　　④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝
即　　⑤ 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：3．二项式定理主要有以下应用①近似计算②解决有关整除或求余数问题③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为"赋值法"）注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题④ 杨辉三角形例题讲练　　【例1】 (1) （06湖南理11）若(ax－1)5的展开式中x3的系数是－80，则实数a的值是
．　　(2) （06湖北文8）在的展开式中，x的幂指数是整数的有
项．　　(3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+......+(1+x)6展开式中x2项的系数为
．　　【例2】
已知f(x)＝(1+x)m+(1+x)n，其中m、n∈N展开式中x的一次项系数为11，问m、n为何值时，含x3项的系数取得最小值？最小值是多少？　　【例3】
已知求：　　①　　②　　③　　④　　　　　　　　　　　　　　　【例4】
证明：　　(1)　　(2)　　(3) 设{an}等差数列，求证：　　　　　　小结归纳　　1．注意(a＋b)n及(a－b)n展开式中，通项公式分别为及这里且展开式都有n+1项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的展开式中的指定项，要扣住通项公式来解决问题．　　2．二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．　　3．应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应根据题设中对精确度的要求，决定展开式中各项的取舍．　　4．求余数或证明整除问题，被除数是幂指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数的倍数加1或减1．通过练习要仔细地去体会其中的变形技巧．基础训练题一、选择题1． 若，则　　的值是
B．1　　C．0
D．22． 若则bn的值　　（
）　　A．一定是奇数
B．一定是偶数　　C．与n奇偶性相反 D．与n有相同的奇偶性3． 在的二项展开式中，若常数项为60，则n等于
）　　A．3
B．6　　C．9
D．124． 设f(x)＝x5－5x4+10x3－10x2+5x+1则f(x)的反函数为　　A．
B．　　C． D．5． 若多项式x2+x10＝a0+a1(x+1)+...+a9(x+1)9+a10(x+1)10则　　a9＝
）　　A．9
B．10　　C．－9
D．－106． （06江西理8）在的二项展开式中，含x　　的奇次幂的项之和为S，当，S等于 （
）　　A．23008
B．－23008　　C．23009
D．－23009　　二、填空题7． （05湖北理14）的展开式中整理后的常数项为
．8． 若(3－4x＋x2)(2＋x－x2)3＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋...＋a8(1＋x)8，则a0＋a1...＋a8＝
．9． （06安徽理13）设常数a>0，10．对于二项公式()n(n∈N*)，有下面四个判断：①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项.其中正确的是
.　　三、解答题11．分别求：　　(1) 求(x＋2y)7展开式中系数最大项．(2) 求(1.002)３精确到0.001的近似值；求0.9886的近似值使误差小于0.001．12． (1) 求777－7被19除所得得余数．(2) 求9192除以100所得得余数．(3) 设n是满足Cn＋2Cn1＋3Cn2＋...＋(n＋1)Cnn<1000的最小正整数，求97n除以99的余数.13．(1) 求展开式中含x3的系数和各项系数的和？(2) 求(1＋2x)10展开式中系数最大的项．　　　　　　提高训练题　　14． ①已知()n的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:3，求展开式中不含x的项.　　②求(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2项的系数.15．假设A型进口汽车关税2001年是100%，在2006年是25%，2001年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税）(1) 已知与A型车性能相近的B型国产车，2001年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？(2) 某人在2001年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时，这笔钱连本带息是否一定能够买一辆按(1)中所述降价后的B型车．　　　　　10．6
随机事件的概率知识要点　　1．随机事件及其概率　　(1) 必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件．　　(2) 不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件．　　(3) 随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．　　(4) 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作．　　(5) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．　　2．等可能性事件的概率　　(1) 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．　　(2) 等可能性事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是．如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率：例题讲练　　【例1】 (1) 一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率；　　(2) 箱中有某种产品a个正品，b个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是A．
D．　　(3) 某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？【例2】
（06浙江理）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，两甲、乙两袋中各任取2个球.(1) 若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；(2) 若取到4个球中至少有2个红球的概率为，求n.【例3】
（20）（06山东理）（本小题满分12分）袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1) 取出3个小球上的数字互不相同的概率；(2) 计分介于20分到40分之间的概率.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】
在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就可获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少？（2）他获得及格与及格以上的概率有多大？小结归纳　　1．实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件．随机事件在现实世界中是广泛存在的．在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率．　　2．如果一次试验中共有种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合I，其中事件A包含的结果组成I的一个子集A，因此从排列、组合的角度看，m、n实际上是某些事件的排列数或组合数．因此这种"古典概率"的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事．3．利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数．基础训练题一、选择题1． 盒中有1个黑球9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由10人依次摸出1个球，高第1人摸出的是黑球的概率为P1，第10人摸出是黑球的概率为P10，则
B．　　C．P10＝0
D．P10＝P12． 从数字1, 2, 3, 4, 5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（
D．3． 从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任取2张，这2 张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是
D．4． （06福建理6） 在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于
B．　　C．
D．5． 若某停车场能把12辆车排成一列停放，有8个车位停放车，而4个空位连在一起，这种事件发生的概率是（
D．6． （06四川理）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为　　A．
C．　　二、填空题7． 将一枚硬币连掷三次，出现"2个正面，1 个反面"的概率是
；出现"1个正面、2个反面"的概率是
．8． 某国轨列车有4节车厢，现有6位乘客乘坐，没每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好是0，1，2，3的概率为多少？9． 一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
．10． 同时抛掷两颗骰子，所得点数之和是5的概率是
．　　三、解答题11．从数字1，2，3，4，5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，计算：① 这个三位数字是5的倍数的概率；②这个三位数是奇数的概率；③这个三位数大于400的概率.12．某校高中三年级举行一次演讲比赛共有10人参加，其　　中一班有3位，二班有两位，若采用抽签的方法确定　　他们的演讲顺序，则一班3位同学恰好被排在一起，　　而二班的两闰同学没有被排在一起的概率是多少？　　13．有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道　　指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位上就坐　　时.　　(1) 求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；　　(2) 若在这5个人侍在指定位置上的概率不小于，　　则至多有几个人坐在自己指定的席位上？提高训练题14．从1，2，...，10共10个数中任取一数，然后放回先后取7次，求下列事件的概率．（1）事件：不含1和10；（2）事件：10恰好出现两次；（3）事件：取到的最大数为6；（4）事件：取出的7个数形成一个单调递增数列．　15． 袋子中有5个红球6个白球和8个黄球，随机地抽取　　3次，每次抽取1个，(1)抽后不放回；(2)押后不放回，　　分别求不下列事件的概率；A. 颜色相同
B. 颜色不　　同.　　10．7
互斥事件有一个发生的概率知识要点　　1．
的两个事件叫做互斥事件．　　2．
的互斥事件叫做对立事件．　　3．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此
．事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．　　4．由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A、B是两个事件，那么A+B表示这样一个事件：在同一试验中，A或B中
就表示A+B发生．我们称事件A+B为事件A、B的和．它可以推广如下：""表示这样一个事件，在同一试验中，中
即表示发生，事实上，也只有其中的某一个会发生．　　5．如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于
．即P(A+B)＝
．　　6.由于是一个必然事件，再加上，故，于是
，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率．　　例题讲练【例1】
某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21, 0.23, 0.25, 0.28，计算这个射手在一次射击中：①射中10环或7环的概率；②不够7环的概率.　　　　　　　　【例2】
袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：　　（1）3只全是红球的概率．　　（2）3只颜色全相同的概率．　　（3）3只颜色不全相同的概率．　　（4）3只颜色全不相同的概率．　　【例3】
设人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人是纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的一某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：①1个孩子有显性决定特征的概率是多少？②2个孩子至少有一个显性决定特征的概率是多少？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】
从男女学生共36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会，如果选得同性委员的概率等于，求男女相差几名？　　　　　　　　　　　　　　　　小结归纳　　1．互斥事件概率的加法公式、对立事件概率的加法公式，都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用．　　2．要搞清两个重要公式：　　的运用前提．　　3．在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率．基础训练题　　一、选择题1． 两个事件互斥是这两个事件对立的
）　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件　　C．充要条件
D．即不充分也不必要条件2． 一个口袋内有9张大小相同的票，其号数分别是1，2，3，，9，从中任取2张，其号数至少有1个为偶数的概率等于
B．　　C．
D．3． 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，那么恰有1人解决这个问题的概率是
）　　A．P1P2
B．P1(1－P2)＋P2(1－P1)　　C．1－P1P2
D．1－(1－P1) (1－P2)4． 从装有２个红球和２个黑球的口袋内任取２个球，那么互斥而不对立的两个事件是
）　　A．至少有1个黑球与都是黑球　　B．至少有1个黑球与至少有1个红球　　C．恰有1个黑球与恰有2个黑球　　D．至少有1个黑球与都是红球5． 有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在车厢内相遇的概率为（
B．　　C．
D．　　6． 盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么等于
）　　A．恰有1只是坏的概率　　B．恰有2只是好的概率　　C．4个全是好的概率　　D．至多2只是坏的概率　　二、填空题7． 将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，甲、乙在同一组的概率为
.8． 2名男生及10名女生排成一列，则2名男生正好排在两头的概率是
．9． 袋中有白球和黑球各5个，从中连续摸取两次，每次摸出一个球，A＝{两次都摸到白球}，B＝{两次都摸到黑球}，C＝{恰有一次摸到白球}，D＝{至少有一次摸到白球}，其中彼此互斥的事件是
，互为对立事件是
．10．一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2，3，......9.从其中任取两张，其号数至少有一个为奇数的概率是
.三、解答题11．某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在　　一周内必须选择某一天停电（选哪天是等可能性的），　　假定工厂之间的选择互不影响.　　(1) 求5个工厂均选择星期日停电的概率；(2) 求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.12．盒中有6只灯泡，其中2只是次品，4只是正品，从其中任取两只，试求下列事件的概率：① 取到两只都是次品；② 取到两只中正品、次品各1只；③ 取到两只中至少有1只正品．　　13．学校某班学习小组共10小，有男生若干人，女生若干人，现要选出3人去参加某项调查活动，已知至少有一名女生去的概率为，求该小组男生的人数？提高训练题14．在圆内接正七边形的顶点中任取三点组成三角形，求圆心在三角形内的概率．15．从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为，试求：①选出的3位同学中，至少有1位男同学的概率.②10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.　　　　10．8
相互独立事件同时发生的概率知识要点　　1．事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率
，这样的两个事件叫独立事件．　　2．设A，B是两个事件，则A?B表示这样一个事件：它的发生，表示事件A，B
，类似地可以定义事件A1?A2*......An.　　3．两个相互独立事件A，B同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A?B)＝
一般地，如果事件相互独立，那么：P(A1?A2......An)＝
.　　4．n次独立重复试验中恰好发生次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是．例题讲练【例1】
如图所示，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统、，当元件A、B、C都正常工作时，系统正常工作，当元件A正常工作且元件B、C至少有1个正常工作时系统正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.8、0.9、0.9，分别求系统、正常工作时的概率．　　　　　　　　　　【例2】
箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：　　①求事件A："第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球"的概率；　　②求事件B："三次中恰有一次取出红球"的概率.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例3】
两台雷达独立工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率是0.9，乙雷达发现目标的概率是0.85，计算在这一段时间内，下列各事件的概率：　　（1）甲、乙两雷达均未发现目标；　　（2）至少有一台雷达发现目标；　　（3）至多有一台雷达发现目标；　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】
有三种产品，合格率分别为0.90，0.95和0.95，各取一件进行检验．　　（1）求恰有一件不合格的概率；　　（2）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.01）小结归纳　　1．当且仅当事件与事件互相独立时，才有 ，故首先要搞清两个事件的独立性．2．独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在n次独立重复试验中某事件发生k次的概率：，其中P是1 次试验中某事件发生的概率，其实正好是二项式的展开式中的第k+1项，很自然地联想起二项式定理．基础训练题一、选择题1． 有甲、乙两地生产某种产品，甲地的合格率为90%，乙地的合格率为92%，从两地生产的产品中各抽取1 件，都抽到合格品的概率等于
B．9.2%C．82.8%
D．0.8%2． 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1 个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则等于
）A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰好有1个红球的概率3． 三个人独立地破译一个密码，他们单独译出的概率是，假设他们破译密码是彼此独立的，则密码被译出的概率为
D．4． 在中山路上的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯　　在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45　　秒，某辆车在中山路上行驶，则在三处都不停车的概　　率是
B．　　C．
D．5． 有10个相同的骰子，每次同时抛出，共抛5次，则至　　少有1次全部抛出同一数字的的概率是
B．　　C．
D．1－6． 一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次击中的概率是 （
B．　　C．
D．　　二、填空题7． 在一次问卷调查中，统计了订阅《新民晚报》的概率是0.6，订阅《扬子晚报》的概率是0.3，则至多订阅其中一种报纸的概率为
．8． 某机械零件的加工过程由两道工序组成，第一道工序的废品率为0.015，第二道工序的废品率为0.02，假定两道工序出的废品是彼此独立的，则产品的合格率是．9． 某气象站天气预报正确率达92%，则三次预报中恰有两次正确的概率是
．10．已知A、B、C为三个独立事件，若事件A发生的概　　率为，事件B发生的概率为，事件C发生的概　　率为，则发生其中两个事件的概率为
.　　三、解答题11．甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率为，甲、乙、丙三人都做对的概率是，甲、乙、丙三人全做错的概率是．（1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率．12．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.①分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；②从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.13．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，求：（1）同时发射一发炮弹，击中飞机的概率是多少？（2）又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门这样的高射炮？（取lg2＝0.3）.提高训练题14．甲、乙两人进行五盘三胜制的象棋赛，甲每盘的胜率为，乙每盘的胜率为（和棋不算），求：（1）比赛以甲比乙为3比0胜出的概率；（2）比赛以甲比乙为3比1胜出的概率；（3）比赛以甲比乙为3比2胜出的概率；15．某中学5名体育考生到湖南师大考点参加体育专业测　　试，并指派一名指导教师带队．　　①若他们乘公共汽车前往，汽车内恰好有前后两排各　　　3个座位，求指导教师不坐在后排的概率；　　②若每名学生测试达标概率都是（相互独立），测　　　试后有m个人达标，经计算5人中恰有m个人同时　　　达标的概率是，求m的值.10．9
离散型随机变量的分布列知识要点　　1．如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做
，随机变量通常用希腊字母，等表示．　　2．如果随机变量可能取的值
，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量．　　3．从函数的观点来看，P(＝xk)＝Pk，k＝1， 2， ...，n，...称为离散型随机变量的概率函数或概率分布，这个函数可以用
表示，这个
叫做离散型随机变量的分布列．　　4．离散型随机变量分布列的性质　　(1) 所有变量对应的概率值（函数值）均为非负数，即
．　　(2) 所有这些概率值的总和为
．　　(3) 根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的　　5．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率
，有了这个函数，就能写出它的分布列，由于是二项式展开式的通项，所以称这个分布为二项分布列，记作　　　　 例题讲练　　【例1】
袋子中有1个白球和2个红球．　　⑴ 每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．　　⑵ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．　　⑶ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次．求取球次数的分布列．　　⑷ 每次取1个球，放回，共取5次．求取到白球次数的分布列．　　【例2】
一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列．　　【例3】
一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　小结归纳　　1．本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系．例如，若独立重复试验的结果只有两种（即与，是必然事件），在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率就是二项式展开式中的第项，故此公式称为二项分布公式；又如两事件的概率均不为0，1时，"若互斥，则一定不相互独立"、"若相互独立，则一定不互斥"等体现了不同概念、公式之间的内在联系．　　2．运用 P(A?B)＝P(A)?P(B)等概率公式时，应特别注意各自成立的前提条件，切勿混淆不清．例如，当为相互独立事件时，运用公式便错．　　3．独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．　　独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有"恰好"字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有"至少"或"至多"字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．　　4．解决概率问题要注意"三个步骤，一个结合"：　　（1）求概率的步骤是：第一步，确定事件性质
，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算
，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式求得．　　（2）概率问题常常与排列组合问题相结合．　　基础训练题　　一、选择题1． 已知随机变量的分布密度函数为f (x)＝，则P()＝
B．　　C．
D．2． 是一个离散型随机变量，其分布列为-101　　则q ＝
）　　A．1
B．　　C．
D．3． 设，则
D．14． 随机变量号的分布列为，k＝1,2,3,4，　　其中t为常数，则等于
B．　　C．
D．5． 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量描述某次试验的成功次数，则p(＝0)等于 （
D．6． 设随机变量等可能取值1，2，3，...n，如果p(<4)　　＝0.3，那么
）　　A．n＝3
B．n＝4　　C．n＝9
D．n＝10　　　　　　二、填空题7． 设随机变量的分布列是，1，2，3，4．则
．8． 现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记为2粒中优质良种粒数，则的分布列是
.9． 离散型随机变量的分布列为　　，则C＝10． 随机变量只能取5，6，7，8，...，16这12个值，且取每一个值的概率均相等，则
，.　　三、解答题11．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学每题回答正确的概率为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布；②求这名同学得分不为负分（即≥0）的概率.12．将编号为1，2，3，4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为，求随机变量的概率分布.提高训练题13．掷三个骰子，求所得点数为3的骰子个数的分布列．14．一批零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出次品不再放回，求在取得正品为止前面已取出的次品数的概率分布．10．10
离散型随机变量的期望与方差知识要点　　1．若离散型随机变量的分布列为.则称
为的数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．　　2．对于随机变量，称为的方差．的算术平方根
叫做的标准差．随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的
．　　3．数学期望与方差产生的实际背景与初中平均数及样本方差这两个概念有关．　　平均数：　　　　　＝＋＋...　　样本方差：　　＝　　以上两式中恰是出现的频率．这与数学期望与方差的定义式一致．　　4．数学期望与方差的性质：若（为随机变量），则
．　　5．服从二项分布的随机变量的期望与方差：若, 则例题讲练【例1】
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．①求的分布列；②求的数学期望；③求"所选3人中女生人数≤1"的概率.　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例2】
抛掷两个骰子,当至少有一个5点或6点出现时,就说这次试验成功,求在30次试验中成功次数的期望和方差.　　【例3】
甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：　　射手甲击中环数8910概率0.60.2　　射手乙击中环数8910概率0.40.4　　　　用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平．　　【例4】
某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，可造成400万元的损失，现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后，此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，试确定预防方案使总费用最少．（总费用＝采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值）.　　　　　　　　　　　　小结归纳1．数学期望与方差，标准差都是离散型随机变量最重要的数字特征，它们分别反映了随机变量取值的平均水平、稳定程度、集中与离散的程度．离散型随机变量的期望与方差都与随机变量的分布列紧密相连，复习时应重点记住以下重要公式与结论：　　一般地，若离散型随机变量的分布列为..................　　　　则期望，　　方差，　　标准差　　若，则，这里基础训练题一、选择题1． 下列是4个关于离散型随机变量的期望和方差的描述① 与是一个数值，它们是本身所固有的特征数，它们不具有随机性．② 若离散型随机变量一切可能取值位于区间内，则．③ 离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映的是随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度．④ 离散型随机变量的期望值可以是任何实数，而方差的值一定是非负实数．　　以上4个描述正确的个数是
D．42． 设随机试验的结果只有A与，,令随机变量
，则的方差为
）　　A．P
B．2P(1－P)　　C．－P(1－P)
D．P(1－P)3． 设随机变量, 且E＝1.6，D＝1.28则（
B．　　C． D．4． 已知的分布列为：－101ρ设η＝2＋3，则Eη＝
B．4C．－1
D．15． 如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设为取得红球的次数，则的期望＝
D．　　二、填空题6． 已知的分布列为：123ρxy且E＝，则D＝
.7． 一射手对靶射击，直至第一次中靶为止，他每次射击中靶的概率为0.9，他有3颗子弹，射击结束后剩余子弹数目的数学期望E＝
.8． 1个盒子里有个白球，1个红球，随机地从中取球，每次只取1个，若取到白球，则抛掉再取，若抽到红球，则停止取球，则抛球次数的数学期望为
．9． 某次考试有100道选择题，每题4个选项，只有1个正确，选对得1分，选错或不选得0分，某学生会其中80道，则该生在这次测试中得分的期望是
.10．若对某个数学问题，甲解出此题的概率为，乙解出此题的概率为，设解出该题的人数为，E＝
.三、解答题11．布袋中有大小相同的4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，试求得分的概率分布和数学期望．12．假设1部机器在1天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时，全天停止工作，若1周的5个工作日里无故障，可获得利润10万元，发生1次故障仍可获得利润5万元；发生2次故障所获利润为0；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求1周的期望利润是多少？（精确到0.001）.13．某商场根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动，统计资料表明，每年五一节商场内的促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如果不遇到有雨天可获得经济效益12万元，如果促销活动遇到有雨天，则带来经济损失5万元，4月30号气象台预报五一节当地有雨的概率是40%，问商场应该采取哪种促销方式？提高训练题14．证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过．15．设篮球队与进行比赛，每场比赛均有一胜队，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假定在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望．10．11
计知识要点　　1．抽样方法　　（1）设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的
，就称这样的抽样为简单随机抽样．简单随机抽样常用方法有：
．　　（2）将总体分成
的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取
个个体，得到所需要的样本，这样抽样叫做系统抽样，也称为机械抽样．　　（3）当已知总体是由
的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照
，这样抽样叫做分层抽样，其中所分成的部分叫做层．　　2．总体分布的估计　　（1）总体分布：随着试验次数的不断增加，试验结果的频率值在相应概率值附近摆动．当试验次数无限增大时，频率值就变成相应的概率了．此时，随着样本容量无限增大其频率分布也就会排除抽样误差，精确地反映总体值的
，通常称为总体分布．　　（2）累积频率分布：由频率分布表可算得，样本数据小于某值的频率等于前面组
,这种样本数据小于某一数值的频率，叫做累积频率．　　（3）累积分布曲线：当样本容量无限增大、分组的组距无限缩小时，频率分布直方图就会趋近于─累积分布曲线．　　3．正态分布　　（1）定义：如果具有无限容量的抽象总体，其密度曲线就是或近似地是以下函数的图像：　　＝
，　　式中的实数是参数，分别表示总体的与
，那么这个总体分布叫做正态分布，常记作，它的图像称为
．　　（2）正态曲线的性质　　① 曲线在
不相交．　　② 曲线关于
对称．　　③ 曲线在
时位于最高点．　　④ 当
时，曲线上升；当时
，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以
为渐近线，向它无限靠近．　　⑤ 当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越
，表示总体的分布越分散；越小，曲线越
，表示总体的分布越集中．　　（3）标准正态分布　　①定义：当＝
时的正态总体称为标准正态总体，相应的函数表达式为
，．　　标准正态分布记作
，相应的密度曲线称为标准正态曲线．　　②总体取值小于的概率用表示，即＝
．　　对于,的值可在标准正态分布表中查到；对于,＝
；对于的概率，有＝
，通过查标准正态分布表查出时的的值，再计算概率．　　（4）标准正态分布与一般正态分布的关系　　① 一般正态总体，均可化为标准正态总体来进行研究．　　例如随机变量，只需作变换
，就可使．　　②对于正态总体，取值小于的概率等于，即＝
．　　例如，若，则＝
．　　即通过查标准正态分布表中的值，可计算服从的正态分布的随机变量取值在与之间的概率．　　4．总体特征数的估计　　（1）总体平均数的估计量：　　（2）总体方差的估计量：　　（3）总体标准差的估计量：例题讲练　　【例1】
一批产品，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别采用系统抽样和分层抽样，从这批产品中抽取一个容量为20的样本．　　【例2】
从大量棉花纤维中，抽取容量为50的样本，纤维长度的数据分组及各组的频率如下：[22.5,25.5)
3[22.5,28.5)
8[28.5,31.5)
9[31.5,34.5)
11[34.5,37.5)
10[37.5,40.5)
5[40.5,43.5)
4(单位：mm)（Ⅰ）列出样本的频率分布表（含累积频率）；（Ⅱ）画出频率分布直方图和累积频率分布图；（Ⅲ）根据累积频率分布图估计纤维长度小于36mm的概率．　　　　【例3】
某城市从南效某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分钟），服从正态分布N（50, 100）；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60, 16).　　①若只有70分钟可用，问应走哪条路线？　　②若只有65分钟可用，又应走哪条路线？　　【例4】
100名学生分成4个小组参加课外活动，其中参加足球小组的有30人，参加篮球小组的有27人，参加排球小组的有23人，参加乒乓球小组的有20人．　　（1）列出学生参加运动小组的频率分布表．　　（2）画出表示频率分布的条形图．　　　　　　小结归纳　　1．抽样是统计工作的基础．统计的基本思想方法是用样本估计总体，即用局部推断整体，这就要求样本应具有很好的代表性，则完全依赖抽样方法．弄清简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的客观合理性．并会在不同的情况下采用适当的抽样方法．　　2．总体特征数有：总体平均数，总体方差．随着高考科目内容设置的进一步改革，高考试题中必然会越来越多地设置实践性和动手能力强的题目．而统计内容具有很好的现实背景和较强的实践性，而且为此类问题的考查提供了便利．　　3．从高考角度来讲，统计这部分内容会越来越受重视，但题目的难度不会太大，不会超出课本难度．基础训练题一、选择题1． 对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，　　若每个零件被抽取的概率为0.15，则N＝ （
B．300C．120
D．2002． 从N个编号中抽个号码入样，考虑用系统抽样的方法，则抽样间隔为
B．　　C．
D．3． 简单随机抽样中，某个个体被抽到的可能性是（
）　　A．与第次抽样有关，第一次抽到的可能性小　　B．与第次抽样无关，每次抽到的可能性相同　　C．与第次抽样有关，最后一次抽中的可能性大　　D．与第次抽样无关，每次都是等可能的，但各次　　　　抽取时可能性不一样4． 正态总体的概率密度函数为，则总体的平均数和标准差分别是
）　　A．0和8
B．0和4　　C．0和2
D．0和5． 如果随机变量，则　　等于
B．　　C．
D．6． 将容量为100的样本数据，按从小到大排列分成8个组如表：组号12345678频率101314141513129　　　　第3组的频率和累积频率为
）　　A．0.14和0.37
B．和　　C．0.03和0.06
D．和　　　　二、填空题7． 一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40, 0.125，则n＝
．8． 某单位有技工18人，技术员12人，行政人员6人，　　需从中抽取一个容量为m的样本，如果采用系统抽样　　和分层抽样，都不必剔除个体；如果样本容量为m+1，　　在系统抽样时，需要在总体中剔除一个个体，则　　m＝
．9． 某工厂生产车间，用传送带将产品送入下一工序，质检人员每隔10分钟在传递某一位置取一件检验，则这种抽样方法是
.10． 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现用分层抽样方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取
辆．　　　　三、解答题11． 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等　　收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会　　购买力的某项指示，要从中抽取一个容量为100户的　　样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，　　要从中选出3名调查学习负担情况，记作②；那么完　　成上述两项调查应采取的抽样方法分别是什么？　　12．盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个.第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次任取1个球（假设取到每个球的可能性相同）．记第一次与第二次取到球的标号之和为．　　（I）求随机变量的分布列；　　（II）求随机变量的期望．13．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并具体实施操作.提高训练题14．有一个容量为50的样本数据分组以及各组频数如下：[125，155），3；[155，185),8; [185,215),9; [215,245),11; [245,275),10; [275,305),6; [305,335),3.根据累积频率分布，估计小于300的数据所占的百分数．单 元 测 试　　一、选择题（每小题5分，共20分）1．的展开式中，x3的系数是
D．－2．若(n∈N)，且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋...＋anxn，则a0－a1＋a2－...＋(－1)nan＝（
B．136C．120
D．163． 从7个同学中选出3人参加校代会，其中甲、乙两人至少选一人参加，不同选法有（
D．4． 有3本不同的书，10个人去借，每人至多借一本，每次全部都借完，则不同的借法有（
B．240C．360
D．7205． 在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生一次的　　概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次　　试验中发生的概率P的取值范围是
D．6． 若正整数x，y满足，则可组成（
）个不同的有序数对（x，y）.A．15
B．16C．17
D．187． 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有
）A．1260种
B．2025种C．2520种
D．5040种8． △ABC内有任意三点不供线的2002个点，加上A，B，C三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为
B．4002C．4007
D．40009． 如图所示，是一个正方体纸盒的展开图，若把1，2，3，4，5，6随机填入小正方形内，按虚线折成正方体，则所得正方体相对面上两个数的和都相等的概率是 （
D．10．国庆期间，甲、乙、丙去旅游，甲去某地的概率为，乙、丙去此地概率分别为，,假定三人的行程相互之间没有影响，那么这一段时间内至少有人去此地的概率为
D．　　　　二、填空题（每小题4分，共20分）11．设随机变量的分布列为其中为常数，则＝___________．12．一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的每个面上切两刀，得到27个均匀的小立方体，从中任取2个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为
.13．若展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是
.14．有十级台阶，一个人上一级，二级或三级，共7步上完，则不同上法共有___________种．15．的展开式中，含x的整数幂的各项系数和为___________　　三、解答题（满分80分）16．（12分）将4个编号为1，2，3，4的球随机地放入3个编号为1，2，3的盒中，对每一个盒来说，所放的球数k满足．假定各种放法是等可能的，试求：⑴ "第一盒中没有球"的概率；⑵ "第一盒中恰有一球"的概率；⑶ "第一盒中恰有两球"的概率；⑷ "第一盒中恰有三球"的概率．17．一盒子中有4个球，球上标号0，1，1，2，现从盒中有放回地抽取两次，每次抽取1个球，设为被观察到球上的号码的乘积，（理）求的分布列和期望；（文）求p(≤1)．18．（理）两个人射击，甲射击一次中靶概率是P1，乙射击一次中靶概率是P2，已知是方程x2－5x+6＝0的两概，若两人各射击5次，甲的方差是，乙的方差是.　　（Ⅰ）求P1，P2；　　（Ⅱ）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，　　　　　则完成目的的概率是多少？　　（Ⅲ）两人各射击1次，中靶至少1次就算完成目　　　　　的，则完成目的的概率是多少？18．（文）甲、乙、丙三人各进行一次射击，如果三人击中目标的概率都是0.6，求：（I） 三人都击中目标的概率；（II） 其中恰有两人击中目标的概率；（III） 至少有一人击中目标的概率．19．（14分）已知展开式中，某一项的系数恰好是它前一项系数的2倍，且等于它后一项系数的，试求该展开式系数最大的项．20．（14分）某旅游地有甲、乙两个相邻景点，甲景点内有2个美国旅游团和2个日本旅游团，乙景点内有2个美国旅游团和3个日本旅游团，现甲、乙两景点各有一个外国旅游团交换景点观光.① 求甲景点恰有2个美国旅游团的概率；② (理) 求甲景点内美国旅游团数的期望；(文) 记甲景区内美国旅游团个数为，求的取值及各个取值的概率.21．（16分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，表示停车时已经通过的路口数．求：(理) 的概率的分布列及期望；(文) 停车时最多已通过3个路口的概率．}