几类常微分方程的特殊求法几类常微
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几类常微分方程的特殊求法
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3秒自动关闭窗口我在学习MATLAB的使用，想用有限差分的方法求解二阶偏微分方程，请高手指点！
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我在学习MATLAB的使用，想用有限差分的方法求解二阶偏微分方程，请高手指点！
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二維熱傳導方程式的解
· 求导法则 (
· 导数的函数应用 (
· 积分的定义 (
· 求积分的技巧 (
· 近似积分法 (
多元微积分
· 多元函数积分 ·
· 方程 ·
· 偏微分方程 ·
相关数学家
偏微分方程（：partial differential equation，作PDE）指含有未知及其的。描述自变量、未知函數及其偏导數之間的關係。符合這個關係的函数是方程的解。
偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式，常常有幾個解而且涉及額外的。
方程式中常以u為未知數及偏微分，如下：
用於空間偏微分的
時間偏微分，線性偏微分方程式的例子如下：
適用于重力场问题的求解
適用於所有物質或的或。
未知函數u(x,y,z,t):
其中k代表該材料的
一些线性二阶偏微分方程可以分为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程。其他的像Euler–Tricomi方程在不同应用领域中也有不同的形式。这种分类便于在解偏微分方程时寻找初始条件提供依据。
本章节未有任何内容。请协助。（日）
表达式为：
其中A,B,C为参数并且取决于x,y。如果在xy平面上有，该偏微分方程在该平面上为二阶偏微分方程。可变形为：
该二阶偏微分方程可分类为：抛物线方程，双曲线方程和椭圆方程，起分类方式为：
 :椭圆方程；
 :抛物线方程；
：双曲线方程。
如果偏微分方程的系数不是一个常数，该偏微分方程可能不属于以上几种类别之一，而可能是混合形式方程。一个简单的例子为Euler–Tricomi方程：
该方程称为椭圆双曲线方程。因为当x & 0时是椭圆形式，当x & 0时是双曲线形式。
偏微分方程解中任意函数的出现必然产生解的各种差异，考虑到几乎不知道这些解的详情，在大多数问题中惯常的目标是找满足合适的和确定的条件(例如在空间的边界处和某固定时刻）的那些解，要求这些条件可以确定唯的解是自然的要求。
而且还有更进一步的考虑，即这些条件的大小或量的微小改变在解本身也带来相应地小的改变。
法国数学家阿达马强调后一方面，当解不连续地依赖于原始数据变化时称此问题是不适定的或提得不正确的
不适定的例子
对于双变量的Laplace方程：
在边界条件
之下，符合条件的解为
当时 其数据在处和的指定值趋于0，而的值在无穷大的范围内震荡，所以这个解不适定。
一些有效的解析法解偏微分方程方法：
通过分离变量法减少偏微分方程中的变量，将一个偏微分方程分解成若干个常微分方程。
沿着一阶偏微分方程的特征线，偏微分方程简化为一个常微分方程。沿着特征线求出对应常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解。
利用积分法，将偏微分方程变换为可分离的偏微分方程，方便求解。一般为傅里叶变换分析。
通过适当的变量变换，可以简化偏微分方程的求解。一个典型的例子为Black–Scholes方程：
可以简化为热力方程：
通过如下变换：
非齐次偏微分方程可通过寻找基本算子，然后通过带有初始条件的卷积来解答。 该法常用于信号处理中通过来求解滤波器。
因为一个线性齐次偏微分方程解的重叠也可看做一个解，所以可以通过交叉重叠这些解得到偏微分方程的一个解。
在众多求解偏微分方程的数值方法中，三种应用最广的方法为（Finite Element Method, FEM）、有限体积法（Finite Volume Method, FVM）和有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。其中，有限元法占主要地位，尤其是它的高效高阶版本—：）。其它版本的有限元法还有：（Generalized Finite Element Method, FFEM）、扩展有限元法（eXtended Finite Element Method, XFEM）、无网格有限元法（Meshfree Finite Element Method）、离散迦辽金有限元法（Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DGFEM）等。
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【求助】请教二阶微分方程的特解（含初始条件）
y''-a1*y^0.5+a2/y^(0.5)=0（如果解不出的话，请虫友们考虑y''-a*y^0.5=0是否可以解出）
y'' 是y的二阶导数
a1，a2是常数
y^0.5是y的平方根
初始条件是
一阶导数y'(x=d)=0
1. 如果初始条件一阶导数y'(x=d)=0中，d也是0就好了，可以直接用龙哥库塔数值解，可惜这里给出的是不等于0的d处的导数，在下不会用龙格库塔求解这个问题，如果可以用的话，请虫友指点。
2. 如果a*y^0.5一项是ay的话，这个二阶微分方程还是很容易解出来的，可惜原方程的解析解在下没能解出，请虫友指点，谢谢！
这个解析解是比较难求的，我不是数学专业的。。。不知道这个解是不是存在，首先需要泛函和空间方面的知识。。。
其实如果是常微分方程的话，别且在所给的条件下，确定解是存在的，可以利用数值方法得到任意高精度的解。。。。当然这也和计算机有关系 Originally posted by jiapanmail at
这个解析解是比较难求的，我不是数学专业的。。。不知道这个解是不是存在，首先需要泛函和空间方面的知识。。。
其实如果是常微分方程的话，别且在所给的条件下，确定解是存在的，可以利用数值方法得到任意高精 ... 谢谢指点：）
补充说明一下，只考虑y对x的求导。
请推荐适用的数值方法，比如龙格库塔法适用吗，我只知道两个初始条件在同一x处的解法，这里如何用就不知道了。
：） 我还不大会用网页上输入公式，只能提供思路，
1。 方程两端同乘分母，得到
2. 令，得到只含u的二阶，一阶导数，u的方程
3. 对这个关于u的方程，参看同济的高数书，可降阶的高阶微分方程部分，可以求出u, 最后求出y
但左边积分一般不是初等函数，所以无法求出解析解。 即使a2=0, 积分仍然不是初等的
Originally posted by xxppyy at
即使a2=0, 积分仍然不是初等的
非常感谢！
我也只能手算到你的6楼回帖而止。
7楼的结果算不出。
请问你的7楼结果是用Maple还是Mathematica算出来的呢？
我正打算安装类似软件替代复杂的手算，尽管很少用到。
这个积分结果不是初等的，无法得到解析解。
请问数值方法，比如龙格库塔法等，可以解决这类问题吗？
谢谢！ Originally posted by arisun8818 at
非常感谢！
我也只能手算到你的6楼回帖而止。
7楼的结果算不出。
请问你的7楼结果是用Maple还是Mathematica算出来的呢？
我正打算安装类似软件替代复杂的手算，尽管很少用到。
这个积分结果不是 ... 1. Mathematica
2. 不熟悉数值解法
var cpro_id = 'u1216994';
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