当a+b+c=1时，证明a^2+b^2+c^2的不等式_百度知道
当a+b+c=1时，证明a^2+b^2+c^2的不等式
根据a^2+b^2&=2ab-2ab&=-(a+b)^2a^2+b^2=(a+b)^2-2ab&=(a+b)^2-(a^2+b^2)2(a^2+b^2)&=(a+b)^弧丹汾诽莴赌风涩袱绩2当a+b=1时，有a^2+b^2&=1/2.证明a^2+b^2+c^2的不等式
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可以证明a²+b²+c²≥1/3 （条件是a+b+c=1）证明过程已给出： 第一种 直接： 3（a²+b²+c²）=（a²+b²+c²+a²+b²+c²+a²+b²+c²) =(a²+b²+c²+(a²+b²)+(a²+c²）+（b²+c²）） ≥（a²+b²+c²+2ab+2bc+2bc)=(a+b+c)²=1 所以a²+b²+c²≥1/3 第二种 可以用柯西不等式 （1²+1²+1²）*（a²+b&su弧丹汾诽莴赌风涩袱绩p2;+c²)≥（1*a+1*b+1*c)² 化简可得a²+b²+c²≥1/3 第三种： 可以构造 构造函数：f（X）=(a²+b²+c²)X²+2(a+b+c)X+3 所以f（X）=(a²X²+2aX+1)+(b²X²+2bX+1)+(c²X²+2cX+1)= (ax+1)²+(bx+1)²+(cx+1)²≥0 故知：f(X)在X轴上方 所以△≤0 即（2(a+b+c)）²-4*(a²+b²+c²)*3≤0 得a²+b²+c²≥1/3
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依题意，得：椭圆方程为x^2/3+y^2=1设CD的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)EC=(x1+1,y1),ED=(x2+1,y2)，EC,ED是向量若E在以CD为直径的圆的圆周上，则有EC*ED=0(x1+1)(x2+1)+y1y2=0x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=0x1x2+(x1+x2)+1+(kx1+2)(kx2+2)(k?+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0将y=kx+2代入椭圆方程x?/3+(kx+2)?=1(1/3+k?)x?+4kx+3=0x1+x2=-4k/(1/3+k?)，x1x2=3/(1/3+k?)代入化简得3(k?+1)-4k(2k+1)+5(1/3+k?)=0(14/3)-4k=0k=7/6 &
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设A,B,C为任意△ABC的三个顶点，则a、b、c为与之对应的三边。S=S△ABC.∵a²=b²+c²-2bccosA
b²=a²+c²-2accosB
c²=a²+b²-2abcosC∴cosA= (b²+c²-a²)/(2bc), cosB=(a²+c²-b²)/(2ac),cosC=(a²+b²-c²)/(2ab);∴S²=(bcsinA/2) ²=b²c²(1-cos²A)/4=[4b²c²-(b²+c²-a²) ²]/16=[a²(b²+c²-a²)+b²(a²+c²-b²)+c²(a²+b²-c²)]/16=[a²(a+b+c)(b+c-a)+ b²(a+b+c)(a+c-b)+c²(a+b+c)(a+b-c)-2abc(a+b+c)]/16···①=(a+b+c)[a²(b+c-a)+b²(a+c-b)+ c²(a+b-c)-2abc]/16=(a+b+c)(b+c-a)(a²-b²-c²+2bc)/16···②=(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/16···③;∴S=[(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)/16]^½ ···④令p=(a+b+c)/2,得：S=[p(p-a)(p-b)(p-c)] ^½.注释：①
先将括号内配方，然后再化简。如：a²(b²+c²-a²)=a&sup埂叮第杆郢访电诗钉涧2;[(b+c)²-a²-2bc]=a²(a+b+c)(b+c-a)-2a²bc.②
用长除法分解因式。③
X^½表示X的算术平方根。
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这是海伦公式。用余璇定理和正玄定理联立即可推导出。利用sin埂叮第杆郢访电诗钉涧x=[1-(cosx)^2]^0.5
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也玩的星星，你好：解：（a－2b）^2＋（a－b）（a＋b）－2（a－b）（a－3b）＝（a^2－4ab＋4b^2）＋（a^2－b^2）－2（a^2－4ab＋3b^2）＝4ab－3b^2＝4×0.5×（－1）－3×（－1）^2＝－5
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(a－2b）^2＋（a－b）（a＋b）－2（a－b）（a－3b）＝（a^2－4ab＋4b^2）＋（a^2－b^2）－2（a^2－4ab＋3b^2）＝4ab－3b^2 当a=0.5,b=-1 时原式=4×0.5×（－1）－3×（－1）^2
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