93动态法测量杨氏模量
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93动态法测量杨氏模量
南昌大学大学物理实验报告；学生姓名:___________学号:_____；实验时间:_____时_____分第____周星；动态法测量杨氏模量；一.实验目的；1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理；2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，熟悉信号源；二．实验原理；如图1所示，长度L远远大于直径d（L&&g；?4y?S?2y+=0（1）?x4EJ?t2；y
南昌大学大学物理实验报告学生姓名:___________
学号:_______________
专业班级:______________实验时间:_____时_____分
星期:______
座位号:________ 动态法测量杨氏模量 一.实验目的1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，熟悉信号源和示波器的使用。 二．实验原理如图1所示，长度L远远大于直径d（L&&d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为棒的轴线沿x方向， ?4y?S?2y+=0
0式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m2;ρ为材料密度，S为截面面积，J为某一截面的转动惯量，J=??y2ds。 S横振动方程的边界条件为：棒的两端（x=0，L）是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令y（x，t）=X（x）T（t），既有
1d4?S1d2T=-?
（2） Xdx4EJTdt2由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于两边都等于同一个常数时等式才成立，假设此常数为K4,则可得到下列两个方程d4X?K4X?0
(3) 4dxd2TK4EJ
(4) dt?S如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为??X(x)=a1chKx+a2shKx?a3cosKx?a4sinKx???（5） T(t)?bcos(?t??)???于是可以得出y（x，t）=（a1chKx+a2shKx?a3cosKx?a4sinKx）?bcos(?t??)
（6）式中K4EJ1??[2
(7) ?S式中（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件得到cosKL?chKL=1
（8）采用数值法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系：KnL=0,4.730,7.835,10.996,14.137，…… （9）其中第一根K0L=0对应试样静止状态；第二根记为K1L=4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或者称为固有频率，此时的振动状态如图2所示，第三根K2L=7.853所对应的振动状态如图3所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K1值代入频率公式，可得到杨氏模量为E= 1.?L4SJL3m2??7.8870?10f E
（10）J2?2 图2
图3如果试样为圆棒（d&&L），则J??d464，所以式（10）可改写为L3m2E?1.60674f
（11） d同样，对于矩形棒试样则有L3m2E矩=6.94643f
（12） bh式中，m为棒的质量，f为基频振动的固有频率，d为圆棒直径，b和h分别为矩形棒的宽度和高度。如果，圆棒试样不能满足d&&L时，式（11）应乘以一个修正系数，T1，即L3m
E?1.604d2f
（13） T1式（13）中的修正系数T1可以根据径长比d/L的泊松比有试样的动态杨氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率f固和共振频率f共是相关的两个不同概念，二者之间的关系为f固=f
(14) 式（14）中Q为试样的机械品质因数。一般Q值远大于50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，两者相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频率。试样在做基频振动时，存在两个节点，分别在0.1处，显然节点是不振动的，实验时支撑点不能放在节点处，而本实验又同时要求在试样两端自由的条件下，检测出共振频率。显然这两条矛盾的。支撑点离节点越远，可以检测到的共振信号就越强，但试样受外力越大，这样产生的系统误差就越大。图4为两端自由杆基频弯曲振动波形。 图4 为了消除误差，可采用内插法测量法测出换能器支撑点在节点时，式样的共振频率，具体测量法是改变支撑点的位置，逐步测出试样的共振频率f，设试样端面离支撑点的距离为x，以x/l为横坐标，共振频率f为纵坐标，用orgin耦合一下数据，求出最低点。 三、实验仪器和装置电源，铜棒，螺旋测微计，游标卡尺，天平，示波器，信号发生器，换能器。 图5 四、实验步骤1，用螺旋测微计测量试样的直径。2，游标卡尺测量试样的长度。3，用天平测量棒的质量。4，支撑法测量步骤：（1） 安装试样棒。将棒放在支撑架上，保持棒横向水平，换能器到试样棒端点的距离相同。（2） 连接测量仪器。动态弹性模量测定仪激振信号输出端接激振器的输入端，拾振信号的输入端接拾振器的输出端，拾振信号的输出端接示波器Y通道。将示波器X通道接激振信号的输出端，用李萨如图形测量。（3） 开机调试。开启仪器电源，调节示波器处于正常工作状态，信号发生器的频率置于5kHz挡，连续调节输出频率，此时激发换能器应发出声响。轻敲桌面，示波器Y轴信号大小立即变动并与敲击强度有关，说明该装置已处于工作状态。，说明该装置已处于工作状态。，说明该装置已处于工作状态。（4） 检频与测量。由低到高调节信号发生器的输出频率，正确找出试样棒的基频共振状态，从频率计上读出共振频率。（5） 测量基频共振频率。在两节点位置两侧各取几个测试点，各点间隔5mm左右，从外向内依次同时移动两个支撑点的位置，每次移动5mm，测出不同位置处基频共振频率。5，根据公式（13）计算杨氏模量。 五，数据处理实验数据如下棒长L=178mm，棒直径D=8mm，棒质量m=75g，T1 =0.04最低点x/l=0.02243
f=751.778Hz L3m2利用公式E?1.60674fT1 d(178?10?3m)3?75?10-3kg2E?1.6067??（751.778Hz）?1.008 -34（8?10m）10
=9.45?10pa 包含各类专业文献、生活休闲娱乐、外语学习资料、文学作品欣赏、专业论文、各类资格考试、中学教育、93动态法测量杨氏模量等内容。　
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57动态杨氏模量的测量-2
之间连续调节；当试样内外温度一致时、测定的数据才是该温度时的真；度，然后拨至“测量”档，这时显示出实际炉温；说明热电偶热点已开焊需重新焊好或换用热电偶；3-7：10是热电偶，本设备采用K型（镍铬-镍硅；上≤1000℃才能长期使用，精确测定时热电偶应作；3-8：图3-B为支撑式支架（我厂特有）激发和接；支撑式支架，还能较为方便的测定出一次谐波共振频率；四、实验
　之间连续调节。建议低温时采用低档（1-3）、高温时采用高档（4-6）档调节。注意只有当试样内外温度一致时、测定的数据才是该温度时的真实数据，测定前先确定“设定”温度，然后拨至“测量”档，这时显示出实际炉温。注意，当屏上出现℃大数时，说明热电偶热点已开焊需重新焊好或换用热电偶。对精确测定，热电偶的冷点应放入0℃
冰-水混合液中。3-7：10是热电偶，本设备采用K型（镍铬-镍硅）热电偶，理论上测定温度可达1200℃，实际上≤1000℃才能长期使用，精确测定时热电偶应作校准。3-8：图3-B为支撑式支架（我厂特有）激发和接收换能器2-5均可沿横杆AB水平调动位置。
试样放上，只要二个支持点不正好都在节点，试样无需捆绑就能完成测定。实验发现采用支撑式支架，还能较为方便的测定出一次谐波共振频率。四、实验步骤：4．1：将各设备按图3联接好（注意各设备要接共地线），启动信号发生器，频率置于2.5K档、连续调节输出频率、此时激发换能器应发出相应声响。轻敲桌面，示波器Y轴信号大小立即变动并与敲击强度有关，这说明整套装置已处于工作状态。4．2：先将二端有刻度的试样放在支撑支架上（注意不要置于二个节点上），由低到高调节输出频率，直至在某一频率使显示屏上的利萨如图形出现最大值并在Y轴左右摆动，记下这个频率，然后用听诊器（不要碰试样）或细金属物（例如尖咀镊子）沿轴向移动，看声强及振动强度是否按图1发生变化。可以发现：当金属物触及二个节点时、示波器波形变化不大，而触及腹点时，示波器示值很快减少。4．3：若示波器显示信号太大或太小时可适当调节信号源的输出或示波器的放大倍率使波形大小合适，继续升高频率大约在2.74倍处看是否能测出一次谐波共振频率。 4．4：变动支撑点，作f-位置曲线，用外推法推出节点的共振频率。4．5：换用其它三种试样、验证直径-长度和共振频率的关系是否符合（3）-（6）式。34．6：将耐热试样用高温悬丝捆好，室温∽500℃以下采用φ0.1左右铜℃丝,500∽1000℃采用Ni-Gr℃挂在悬挂支架上测出基频。建议采用在接近二端激发-接收方式以取得最好效果。测出基频并确认无误后再将试样放入炉内，将试样二端调整在炉腔中心，再用保温棉堵住（除悬丝附近留二个小孔外）所有部位（包括二端），一定要保证二根悬丝和试棒不与任何物体相碰，否则将影响实验进行，有关温控器及加热炉具体操作、详见说明书。 4．7：测f-T℃曲线：画出E-T℃曲线，自室温开始每50-100℃测一次共振频率，最好采用端点悬挂接收方式以保证较好的激发一接收效果，每一个测点保温时间约10分钟以使试样内外均温，对非严格测定、保温时间可减少，对精确测定尚需考虑试样膨胀的影响。
ET?E室温?f?????t
式中?f室温???1???T????2为膨胀系数、?T为温差。五、注意事项：5．1：因换能器为厚度约为0.1-0.3mm的压电晶体、用胶粘接在0.1mm左右的黄铜片上构成、
故极其脆弱。测定时一定要轻拿轻放，不能用力，也不能敲打。焊接只能用15W左右
烙铁迅速焊接（不要超过3秒）否则极易损坏。5．2:二根悬丝必须捆紧，不能松动，且在通过试样轴线的同一截面，测定时应使试样不摆动。 5．3:信号源-换能器-（放大器）-示波器均应共“地”。5．4:加热炉当炉温升到500℃以上时，炉壳温度较高应注意避免烫伤。 ．．．．．．．．5．5:悬挂或支撑点如在节点时极难进行测定，全放在端点，测定虽很方便但易引入系统误差，作f-T℃曲线时推荐采用二端悬挂方式以取得较好效果。5．6:实验时发现用悬挂方式很难测出一次谐波频率，用支撑法测却很易测定，同时发现悬挂和支撑的位置和基频关系密切，但用支撑法测出的一次谐波频率和支撑位置联系不大，你能分析出其中原因吗？5．7:用本装置可测切变模量和声频内耗详见参考资料4。六、共振频率的判断：测定中，激发-接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率、都可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振。因此，正确的判断示波器上显示出的共振信号是否为试样真正共振信号成为关键，可用下述判据作判断。6．1:测试前根据试样的材质、尺寸、质量通过（3）或（4）式估算出共振频率的数值，然后放在支撑支架上，在上述频率附近进行寻找、再上悬挂支架入炉升温。6．2:换能器或悬丝发生共振时可通过对上述部件施加负荷（例如用力夹紧），可使此共振信号变化或消失。6．3:发生共振时，迅速切断信号源，除试样共振会逐渐衰减外，其余假共振会很快消失。 6．4:试样发生共振需要一孕育过程，切断信号源后信号亦会逐渐衰减，它的共振峰宽度较窄，
信号亦较强。试样共振时，可用一细金属丝沿纵向轻碰试样，这时会按表1的规律可发现波腹、波节。对扁平试样用细硅胶粉撤在试样上可在波节处发生明显聚集。也可用听诊器沿试样纵向移动，能明显听出波腹处声大，波节处声小并符合图1的规律。对一些细长杆状（或片状）试样，有时能直接看到波腹和波节。6．5:用打火机（火柴）烧悬丝或试样处，属于悬丝共振能很快消失，属于试样的共振频率会发生减少。6．6:用频率比法进行判别。对长为160-180mm,直径6-8mm的金属圆杆试样f1?2.74f 6．7:如试样材质不均匀或呈椭圆形，就会有多个共振频率出现，只能通过更换合格试样解决。 6．8:尽可能采用较小的信号激发，这时发生虚假信号少且弱，采用端点激发一接收方式可极大的提高实验效果。6．9:接收信号在共振点附近相位会发生突变，示波器上椭圆主轴会在Y轴左右偏移，高温时因试样机械品质因素下降，因试样在炉内采用其他判别方法均困难，此成为主要判据。 6．10:当输入某个频率在显示屏发现共振时，即使托起试样，示波器显示的波形仍然很少变化，说明这个共振频率不属于试样。6．11:悬丝共振时可明显看见悬丝上形成驻波。4七、据处理与分析：表一 表二
测f?T℃曲线
材质根据所得值代入公式（3-4）计算出试样扬氏模量再利用误差传递公式计算：（5）Er??mm?2?ll?2?ff?4?dd写出结果表达式：E??E表三铜试样d=
l? 思考题：1、你在实验中是否发现假共振峰。是何原因，如何消除？是否有新的判据？2、悬挂时捆绑的松紧，悬丝的长短、粗细、材质、钢性都对实验结果有影响，是何原因，可否消除？3、如何用外推法算出试棒节点真正的共振频率？4、试样的固有频率和共振频率有何不同，有何关系？可否不测量质量而引入材料密度ρ，这时公式（3）应作何变动？参考资料：1、金属材料扬氏模量、切变横量及泊松比测量方法（动力学法），国家标准GB/T 2105-80（或91）。2、梁昆淼：数数物理方法，
人民教育出版社1979。 3、高温弹性模量（室温-2500℃）测定
1963全国高温测试会议论包含各类专业文献、专业论文、应用写作文书、高等教育、生活休闲娱乐、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、行业资料、中学教育、文学作品欣赏、57动态杨氏模量的测量等内容。　
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