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已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（II）当a≤12时，讨论f（x）的单调性．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（I）当a=-1时，f（x）=lnx+x+2x-1∴f′(x)=1x+1-2x2∴f′（2）=1∵f（2）=2+ln2∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-2-ln2=x-2，即y=x+ln2；（II）f′(x)=1x-a-1-ax2=(x-1)[ax-(1-a)]x2当0＜a≤12时，令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞1-aa；令f′（x）＜0，可得1＜x＜1-aa；当a=0时，令f′（x）＞0，可得x＜1；令f′（x）＜0，可得x＞1；当a＜0时，令f′（x）＞0，可得1-aa＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＜1-aa或x＞1，综上，当0＜a≤12时，函数的单调增区间为（-∞，1），（1-aa，+∞）；单调减区间为（1，1-aa）；当a=0时，函数的单调增区间为（-∞，1）；单调减区间为（1，+∞）；当a＜0时，单调增区间为（1-aa，1）；单调减区间为（-∞，1-aa），（1，+∞）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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404257472684468003859230572832462785函数与导数专题(解答题含详解答案)_百度文库
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已知点P在曲线y=ex（e为自然对数的底数）上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|的最小值是（&&& ）。
题型：填空题难度：中档来源：河北省模拟题
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据魔方格专家权威分析，试题“已知点P在曲线y=ex（e为自然对数的底数）上，点Q在曲线y=lnx上，则..”主要考查你对&&对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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对数函数的图象与性质指数函数的图象与性质
对数函数的图形：
对数函数的图象与性质：
对数函数与指数函数的对比：
&(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．&(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a&l时，它们是增函数；当O&a&l时，它们是减函数．&(3)指数函数与对数函数的联系与区别： 对数函数单调性的讨论：
解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”的原则．
利用对数函数的图象解题：
涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a&l与O&a&l的两种不同情况，底数对函数值大小的影响：
1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a&l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O&a&l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．&
2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数，则必有 &&&&指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：&
底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a&l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0&a&l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．&③当a&0，且a≠l时，函数 与函数y=的图象关于y轴对称。
利用指数函数的性质比较大小：&若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：&若底数不同而指数相同，用作商法比较；&若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值，指数函数图象的应用：
函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．
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与“已知点P在曲线y=ex（e为自然对数的底数）上，点Q在曲线y=lnx上，则..”考查相似的试题有：
478853559889246229393213572854413763已知函数y=f(x)=Inx/x. （I）求函数y=f(x)的图像在x=1/e处的切线方程；_百度知道
已知函数y=f(x)=Inx/x. （I）求函数y=f(x)的图像在x=1/e处的切线方程；
已知函数y=f(x)=Inx&#47;x.（I）求函数y=f(x)图像x=1&#47;e处切线程；（II）求y=f(x)值；（III）设实数A＞0求函数F(X)=af(x)[a<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ada]值
提问者采纳
解：(I)∵f(x)=(lnx)/x∴f’(x)=[(lnx)’x-(lnx)(x)’]/x^2=[(1/x)x-(lnx)×1]/x^2=(1-lnx)/x^2∴f’(1/e)=[1-ln(1/e)]/(1/e)^2=[1-(-1)]/(1/e^2)=2e^2∵f(1/e)=[ln(1/e)]/(1/e)=-1×e=-e∴切线程y+e=2e^2(x-1/e)即y=2e^2x-3e.(II)定义域x∈(0+∞).令f’(x)=(1-lnx)/x^2=0则1-lnx=0lnx=1x=e.∵<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0af&x&elnx&lne=1<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad-lnx&0f’(x)&0f(x)单调递增；
x&elnx&lne=1<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad-lnx&0f’(x)&0f(x)单调递减∴x=e极值点f(e)=1/e极值∵(0+∞)极点唯∴f(e)=1/e值.(III)∵F(x)=af(x)∴F’(x)=af’(x)∵a&0∴f’(x)&0F’(x)&0；f’(x)&0F’(x)&0∴F(x)与f(x)单调性相同极点x=e区间[a<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ada]左侧即e&aa&e：函数F(x)区间[a<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ada]单调递减值F(2a)=aln(2a)/(2a)=ln(2a)/2；极点x=e区间[a<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ada]右侧即e&2a<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad&a&e/2：函数F(x)区间[a<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ada]单调递增值F(a)=aln(a)/(a)=lna；极点x=e区间[a<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ada]即a≤e≤2ae/2≤a≤e：函数F(x)值能F(a)F(2a)较.F(a)=lnaF(2a)=(1/2)ln(2a)=ln[(2a)^(1/2)]=ln[√(2a)]令lna&ln[√(2a)]a&√(2a)a^2-2a&0：0&a&2；令lna&ln[√(2a)]a&√(2a)a^2-2a&0：a&2；即e/2≤a≤2F(a)≤F(2a)值F(a)；
<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0af&a≤eF(a)&F(2a)值F(2a).综所述<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0af&a≤2值F(a)=lna；a&2值F(2a)=ln(2a)/2.
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1:f&#39;(x)=(1-lnx)/x^2
f&#39;(1/e)=2*e^2y=f(1/e)=-e函数y=f(x)图象x=1/e处切线程 LL:Y=2*e^2(X-1/e)-e2:f&#39;(x)=(1-lnx)/x^2令f&#39;(x)=0x=ey=f(x)值 =f(e)=1/e3:F(x)=af(x)单调性与f（x）a&=e F(x)=af(x)[a,2a]值 =F(a)=ln（a）<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0afa=&eF(x)=af(x)[a,2a]值 =F(2a)=ln（2a）/aa&e&2aF(x)=af(x)[a,2a]值=min{F(a),F(2a)}
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