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数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是常规排列组合问题。常规排列组合问题是排列组合问题中的一种。排列组合问题根据是否与顺序有关，只有排列和组合两种类型；根据事情的完成步骤，只有分类和分步两种类型；根据解题方法，只有基础公式型、分类讨论型、分步计算型、捆绑插空型、错位排列型、重复剔除型、多人传球型、等价转化型八种类型。无论排列组合的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这几种主要类型和解题方法，就能轻松搞定排列组合问题。
1、题型简介排列组合问题在近年来各类公务员考试中出现较多。下面给出了解决排列组合问题的几个核心知识点，从真题来看，基础公式型、分类讨论型、分步计算型、重复剔除型、等价转化型这五种题型考查较多，同学们可以重点学习。
2、核心知识（1）基础公式法加法原理：一件事情，有n类方法可以完成，并且每类方法又分别存在种不同方法，则完成这件事情共有种方法。乘法原理：一件事情，需要n个步骤完成，并且每步又分别存在种不同方法，则完成这件事情共有种方法。排列基础公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一列（与顺序有关），有种方法。组合基础公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组（与顺序无关），有 (其中m!=1×2×3×…×m)种方法。（2）分类讨论法根据题意分成若干类分别计算。（3）分步计算法根据题意，分步计算。（4）捆绑插空法相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列。不相邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中。（5）错位排列法错位排列问题：有n封信和n个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计算Dn，则D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6=265…（请牢牢记住前六个数）。（6）重复剔除法A．平均分组问题将NM个人平均分成N组，总共有种分配方法。B．多人排成圈问题N人排成一圈，有种排法。C．物品串成圈问题N个珍珠串成一条项链，有种串法。（7）多人传球法M个人传N次球，记，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。（8）等量转换法
1.基础公式法例1：(国家2004B类-44)把4个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子放一个球，有多少种放法？A. 24B. 4C. 12D. 10【答案】A【解析】[题钥] “把4个不同的球放入4个不同的盒子中”，与顺序有关，因此属于排列问题。[解析] 根据题意：确定n：4；确定m：4；代入排列基础公式：；所以，选A。
2.分类讨论法例2：(2005年中央一类第48题)从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有（
）种不同的选法。A. 40B. 41C. 44D. 46【答案】C【解析】[题钥] “从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数”，与顺序无关，因此属于组合问题。“从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数”，共有两种类别：第一类，三个数都为偶数；第二类，两个奇数和一个偶数。采用加法原理。[解析] 第一类，三个数都为偶数：确定m1：；第二类，两个奇数和一个偶数：确定m2：；
代入加法原理公式：所以，选C。
3.分步计算例3：(2004年中央A类第47题)林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法？(
)A. 4B. 24C. 72D. 144【答案】C【解析】[题钥] “若不考虑食物的挑选次序”，与顺序无关，因此属于组合问题。林辉挑选食物可分三步，第一步从三种肉类中挑一种肉类，第二步从四种蔬菜中挑二种不同蔬菜，第三步从四种点心中挑一种点心，采用乘法原理。[解析]三种肉类中挑一种肉类：确定m1：；四种蔬菜中挑二种不同蔬菜：确定m2：；四种点心中挑一种点心：确定m3：；代入乘法原理公式：所以，选C。
4.捆绑插空法例4：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（
）种排法。A. 120B. 72C. 48D. 24【答案】B【解析】[题钥] “A、B、C、D、E五个人排成一排”，与顺序有关，属于排列问题。“其中A、B两人不站一起”，可采用插空法。分为两步，第一步：把C、D、E排成一排；第二步：将A、B插入C、D、E中行成的4个空隙中。采用乘法原理。[解析]第一步：把C、D、E排成一排；确定m1：；第二步：将A、B插入C、D、E中行成的4个空隙中；确定m2：；代入乘法原理公式：所以，选B。
5.错位排列法例5：（北京社招2007－16）五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？ A. 6B. 10C. 12D. 20【答案】D【解析】[题钥] “五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个”，与顺序无关，属于组合问题。“其中恰好贴错了三个”，属于错位排列。分为两步，第一步：从五个瓶子中选出三个；第二步：对选出的三个瓶子进行错位排列。采用乘法原理。[解析] 第一步：从五个瓶子中选出三个；确定m1：。第二步：对选出的三个瓶子进行错位排列；
确定m2：D3＝2；
代入乘法原理公式：；所以，选D。
6.重复剔除法例6：（上海2005－11）某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同排列方法有多少种？（
）A. 720B. 60C. 480D. 120【答案】D【解析】[题钥] “六人围成一圈跳集体舞”，与顺序有关，属于排列问题。然而，如下图所示，以下6种情况虽然对应了上述解法的不同排列过程，但实际上却是相同的方法，所以最后的结果还要剔除这些重复的情况。属于重复剔除型中的多人排成圈问题。[解析] 根据题意：
将六人排成一排，共有种；确定重复情况：将6个人排成圈，N＝6；确定分配方法：720÷6＝120所以，选D。
7.多人传球法例7：（国家2006一类－46，二类－39）四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式？ A. 60种B. 65种C. 70种D. 75种【答案】A【解析】[题钥] “四人进行篮球传接球练习”，属于多人传球型问题。[解析] 套用公式法：确定M：4；确定N：5；代入多人传球公式：；与60.75最接近的整数61为传给“非自己的某人”即非甲的方法数；与60.75第二接近的整数60便是传给自己即甲的方法数。所以，选A。
8.等价转换法例8： 一次射击比赛当中，6个瓷制靶子排成两列，左边挂了4个靶子，右边挂了2个靶子。射手在射击每一列的时候，必须先击碎此列尚未击碎的靶子当中的最下面的一个。请问全部击碎所有6个靶子一共有多少种方法？（
）A. 10种B. 12种C. 15种D. 21种【答案】C【解析】[题钥] 此时可进行等价转化，等价于在第1、2、3、4、5、6次射击中，有4次是往左射击，有2次是往右射击，确定好这6次射击的“左”与“右”之后，具体是打哪个靶就被唯一确定了。[解析] 此题等价于：“共有6次射击，其中有4次是往左射击，有2次是往右射击，共有几种射击方法。” 6次射击中寻找2次往右射击的方法： 所以，选C。
1.分类讨论法例9：用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺序排列：1，2，3，4，5，12，…，54321。其中，第207个数是多少？（
）A. 313B. 12354C. 325D. 371【答案】B【解析】[题钥] “用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数”，与顺序有关，因此属于排列问题。“用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数”，共有五种类别：第一类，组成的自然数为一位数；第二类，组成的自然数为二位数；第三类，组成的自然数为三位数；第四类，组成的自然数为四位数；第五类，组成的自然数为五位数。采用加法原理。[解析] 组成的自然数为一位数：确定m1：；组成的自然数为二位数：确定m2：；组成的自然数为三位数：确定m3：；组成的自然数为四位数：确定m4：；组成的自然数为五位数：确定m5：；由于m1＋m2＋m3＋m4＝5＋20＋60＋120＝205；m1＋m2＋m3＋m4＋m5＝5＋20＋60＋120＋120＝325。因此，第207个数为五位数的自然数。第205个数为四位数的最后一位，即最大数5432；第206个数为五位数的第一位，即最小数12345：则第207个数为五位数的第二位，即第二小的数12354。所以，选B。
2.重复剔除法例10：将11个人分成“3、3、2、2、1”这样的五组，请问一共有多少种分配的方法？（
）A. 4620B. 69300C. 138600D. 277200【答案】B【解析】[题钥] “将11个人分成‘3、3、2、2、1’这样的五组”，与顺序无关，属于组合问题。将11个人分成“3、3、2、2、1”这样的五组，可分为两步，第一步：从11个人中选出6人，然后平均分成2组；第二步：从剩余的5个人中选出4人，然后平均分成2组，剩余一人则唯一确定。采用乘法原理。在平均分组的过程中，应剔除重复的情况。属于重复剔除型中的平均分组问题。[解析] 根据题意，第一步，从11个人中选出6人，然后平均分成2组：确定m1：；第二步，从剩余的5个人中选出4人，然后平均分成2组，剩余一人则唯一确定：确定m2：；代入乘法原理公式：所以，选B。
3.多人传球法例11：对右下图正八边形的8个区域进行涂色，颜色从红、黄、蓝三种当中选取，每个区域选择一种颜色，并且要求相邻区域选取不同的颜色。请问一共有多少种涂色的方法？（
）A. 86B. 174C. 216D. 258【答案】D【解析】[题钥] “8个区域进行涂色，颜色从红、黄、蓝三种当中选取，每个区域选择一种颜色，并且要求相邻区域选取不同的颜色”，我们从区域1开始考虑，区域1一共有3种涂色的方法，先假设区域1被涂了红色，然后进行顺时针依次考虑：区域2选取与区域1不同的颜色；区域3选取与区域2不同的颜色……区域7选取与区域6不同的颜色；最后区域8选取与区域7不同的颜色，并且与区域1也要不同。
这个过程相当于“3个人（红、黄、蓝）传球，从‘红’出发，依次传8次球（1→2→3→4→5→6→7→8→1），最后传回到‘红’的手里”。属于多人传球型问题。[解析] 根据题意：假设区域1被涂了红色；确定M：3；确定N：8；代入多人传球公式：与85.33最接近的整数85为传给“非自己的某人”即非“红”的方法数；与85.33第二接近的整数86便是传给自己即“红”的方法数。由于区域1可以涂“红、黄、蓝”3种颜色：因此总情况数应为：86×3＝258（种）。所以，选D。
4.等价转换法例12：假设x、y、z是三个非零自然数，且有x+y+z=36，则共有多少组满足条件的解？A. 700B. 665C. 630D. 595【答案】D【解析】[题钥] 此时可进行等价转化，由于x、y、z是三个非零自然数，因此等价于36个“1”排成一排，内部形成35个空隙，在这35个空隙插入两个相同的物体，有几种插入法。[解析] 此题等价于：“36个“1”排成一排，内部形成35个空隙，在这35个空隙插入两个相同的物体，有几种插入法。35个空隙插入两个相同物体的方法： 所以，选D。
&&学完知识点后就应该进行实战演练了，自我检测中的题目是91UP专家团针对本条知识精选出来的典型题目。题
不在多而在于精，在洞察其万变不离其宗的模式，认真完成自我检测可以事半功倍举一反三。
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◇本站云标签方格纸中的排列组合问题--《数学教学》2003年05期
方格纸中的排列组合问题
【摘要】：正 研究性学习理论认为,学生应在教师指导下,从一定情境中,多角度发现有价值的问题,主动地、自主地探求解决方案,从而培养学生创新意识,发展学生能力.课堂教学中,对开放型问题的编组与探究正是这一理论的具体体现.下面,是笔者在排列、组合习题课上,对一类问题的有关做法.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G633.6【正文快照】：
11 lq白 一一 研究性学习理论认为,学生应在教师指导下,从一定情境中,多角度发现有价值的问题,主动地、自主地探求解决方案,从而培养学生创新意识,发展学生能力.课堂教学中,对开放型问题的编组与探究正是这一理论的具体体现.下面,是笔者在排列、组合习题课上,对一类问题的有
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2015考研数学:排列组合中的分组问题
& & & 导读：管理类联考的数学考试中，排列组合概率一直是一个难点，而分组问题更是其中常考且易混的考点。　　管理类联考的数学考试中，排列组合概率一直是一个难点，而分组问题更是其中常考且易混的考点。比如下面的三道题，请仔细观察，这三道题之间有什么差别?每道题的三小问之间又有什么细微的差别?　　1.分配9个人去完成甲、乙、丙三项任务　　(1)甲任务需2人，乙任务需3人，丙任务需4人，则不同的选派方法共有多少种?　　(2)甲任务需2人，乙任务需2人，丙任务需5人，则不同的选派方法共有多少种?　　(3)甲、乙、丙三任务各需3人，则不同的选派方法共有多少种?　　解析：此题中已经明确每项任务需要几人，只需为每项任务把人选出来即可。　　2.将9个人以下列三种方式分为三个小组，则不同的分组方法各为多少种?　　(1)将9个人以2，3，4分成三组　　(2)将9个人以2,2,5分成三组　　(3)将9个人以3,3,3分成三组　　解析：此题只涉及分组，不涉及分任务，要注意到像第二小问和第三小问这种涉及组间元素个数相同时，要除以一个全排列，如果有两组元素个数相同，则除以　　，如果是三组元素个数相同则除以　　，否则会产生重复。　　3.将9个人以下列方式分成三个小组，去完成三项不同任务，则不同的分配方案各有多少种?　　(1)将9个人以2，3，4分成三组　　(2)将9个人以2,2,5分成三组　　(3)将9个人以3,3,3分成三组　　解析：此题不仅涉及分组而且涉及分任务，与第一题的差别就在于并不明确每项任务需几人，也就是每项任务都有可能是三组的的任何一组来完成，此时需要先分组再分配。　　这里涉及的分组问题可以确定的说，能够囊括管理类数学考试所有的分组问题。但是，还不够，因为我们还需要做一步功课，就是在题目中分辨出属于哪一种类型的分组，比如下面的题目　　例： 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法种数有( )种.　　解析：此题涉及到先让一名医生和两名护士配对，再分配给三所学校，处理时可以这样，先让三名医生做为三项任务，已知每名医生配两名护士，即每项任务需两人，之后再分配给三所学校。　　通常对于排列组合概率题，看完懂了，做题又蒙了，很正常，不经过这样翻来覆去的过程不会真正掌握这种题型，所以，要努力，加油。& & &【版权声明】　　本文版权属本网所有，任何媒体、网站或个人未经本网协议授权不得转载、链接、转贴或以其他方式复制发表。已经本站协议授权的媒体、网站，在下载使用时必须注明“稿件来源：文都教育”，违者本站将依法追究责任。　　 &【推荐阅读】　　
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