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木箱以大小为2m/s2的加速度水平向右做匀减速运动。在箱内有一轻弹簧，其一端被固定在箱子的右侧壁，另一端拴接一个质量为1kg的小车，木箱与小车相对静止，如图所示。不计小车与木箱之间的摩擦。下列判断正确的是
A．弹簧被压缩，弹簧的弹力大小为10N B．弹簧被压缩，弹簧的弹力大小为2N C．弹簧被拉伸，弹簧的弹力大小为10N D．弹簧被拉伸，弹簧的弹力大小为2N
题型：不定项选择难度：中档来源：0113
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据魔方格专家权威分析，试题“木箱以大小为2m/s2的加速度水平向右做匀减速运动。在箱内有一轻弹..”主要考查你对&&从运动情况确定受力&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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从运动情况确定受力
从运动情况确定受力：1、知道物体的运动情况，应用运动学公式求出物体的加速度，再应用牛顿第二定律，推断或者求出物体的受力情况。2、分析这类问题的关键是抓住受力情况和运动情况的桥梁——加速度。3、求解动力学这两类问题的思路，可由下面的框图来表示。瞬时加速度问题的解决方法：分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析瞬时前后的受力情况及运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速度。此类问题应注意以下两种基本模型。 (1)刚性绳(或接触面)：可认为是一种不发生明显形变就能产生弹力的物体。若剪断(或脱离)后，其弹力立即消失，不需要考虑形变恢复时间。一般题目中所给的细绳(线)和接触面，在不加特殊说明时，均可按此模型处理。解决此模型的关键在于分析情景突变后的过程，利用过程的初状态分析求解状态突变后的瞬时加速度。 (2)弹簧(或橡皮绳)：此类物体的特点是形变量大，形变恢复需要较长时间。在瞬时问题中，其弹力的大小往往可以看成不变。但当弹簧的一端不与有质量的物体连接时，轻弹簧的形变不需要时间，弹力可以突变。解决此类问题时需利用情景突变前的受力来确定情景突变后瞬间的受力及加速度。动力学范围的整体法与隔离法：处理连接体问题的方法有整体法和隔离法。 1．整体法将一组连接体作为一个整体看待，牛顿第二定律中是整体受的合外力，只分析整体所受的外力即可(因为连接体的相互作用力是内力，可不分析)，简化了受力分析。在研究连接体时，连接体各部分的运动状态可以相同，也可以不同。当连接体各部分运动状态不同时，整体的合外力等于各部分质量与各部分加速度乘积的矢量和，即F合写成分量形式有：如果待求的问题不涉及系统内部的相互作用时，就可以采用整体法。 2．隔离法在求解连接体的相互作用力时采用，将某个部分从连接体中分离出来，其他部分对它的作用力就成了外力。整体法与隔离法在研究连接体问题时经常交替使用。
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&&2014年高中物理金牌解析学案：第2章《匀变速直线运动的研究》3（新人教版必修1）
2014年高中物理金牌解析学案：第2章《匀变速直线运动的研究》3（新人教版必修1）
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2014年高中物理金牌解析学案：第2章《匀变速直线运动的研究》3（新人教版必修1）
第3节　匀变速直线运动的位移与时间的关系
第4节　匀变速直线运动的位移与速度的关系
当你乘坐出租车时，细心观察可以发现，有经验的司机在看到红色信号灯后，未必就立即刹车减速，他们总是要根据停止线的距离迅速估测一下时间，然后采取相应措施，这样开车就是所谓的经济省油了……那么，位移和时间究竟存在什么样的关系呢？并且我们知道，出租车行驶的速度越大，刹车的距离(位移)越大，初速度和刹车位移之间又有什么关系呢？
为了更精确地描述物体的运动，寻找物体的运动特点，本节将研究匀变速直线运动的位移与时间的关系．在推导位移公式的过程中，本节引入了微分思想，正是这种思想引导着我们的祖先发现了很多物理规律．
要点一、匀速直线运动的位移
1．匀速直线运动的位移公式
注意：取运动的初始时刻(t＝0时)物体的位置为坐标原点，这样，物体在时刻t的位移等于这时的坐标x，从开始到t时刻的时间间隔为t.
2．匀速直线运动的x－t图象
若取t＝0时，x＝0，则x－t图象为过原点的一条倾斜的直线，如图2－3、4－1所示．
图2－3、4－1　　图2－3、4－2
若在t＝0时，x＝x0，则x－t图象为一条纵轴截距为x0的倾斜的直线，如图2－3、4－2所示，x－t图象的斜率表示物体运动的速度，v＝.
3．匀速直线运动的v－t图象
图2－3、4－3
匀速直线运动的速度v不随时间变化，其v－t图象为一条平行于时间轴的直线，如图2－3、4－3所示．
(1)v－t图象的斜率表示加速度a，在匀速直线运动中，a＝＝0.
(2)v－t图象与时间t轴间的面积在数值上等于物体做匀速直线运动在这段时间内的位移．
(3)v－t图象的纵截距表示速度的大小．
匀变速直线运动的位移．
1．匀变速直线运动的位移公式
x＝v0t＋at2
2．推导过程
如图2－3、4－4所示，为匀变速直线运动的v－t图象，在时间t内的位移x在数值上等于图线与时间t轴所围面积．
图2－3、4－4
v－t图象中直线下面的梯形OABC的面积
S＝(OC＋AB)·OA
把面积以及各条线段换成所代表的物理量，
得x＝(v0＋v)t
由速度公式v＝v0＋at代入上式得
x＝v0t＋at2
3．对位移公式x＝v0t＋at2的理解
(1)位移公式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，式中v0是初速度，时间t是物体实际运动的时间．
(2)此公式既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．在取初速度v0方向为正方向的前提下，匀加速直线运动a取正值，匀减速直线运动a取负值；计算结果x>0，说明位移的方向与初速度v0方向相同；x<0，说明位移方向与初速度v0方向相反．
(3)对于初速度为零的匀加速直线运动，位移公式为x＝at2，即位移x与时间t的二次方成正比．
(4)v－t图象与时间轴围成的面积表示位移的大小，且时间轴上方的面积表示位移为正方向，时间轴下方的面积表示位移为负方向．
(5)此公式中共有四个物理量，知道其中任意三个物理量，便可确定第四个物理量．
匀变速直线运动位移与速度的关系
1．公式推导
我们把速度公式v＝v0＋at，变为t＝，代入位移公式x＝v0t＋at2可得v2－v＝2ax
这就是匀变速直线运动位移与速度的关系式．
2．关系式的应用
(1)公式v2－v＝2ax是根据匀变速直线运动的两个基本关系式推导出来的，但因为不含时间变量，所以在某些问题中应用很方便．
(2)公式在应用时也必须注意符号法则，公式中的v、v0、a、x也要规定统一的正方向，一般选初速度方向为正方向．
3．三个基本公式的选择
公式v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，v2－v＝2ax中包含五个物理量，它们分别为：初速度v0，加速度a，运动时间t，位移x和末速度v，在解题过程中选用公式的基本方法为：
(1)如果题目中无位移x，也不让求位移，一般选用速度公式v＝v0＋at；
(2)如果题中无末速度v，也不让求末速度，一般选用位移公式x＝v0t＋at2；
(3)如果题中无运动时间t，也不让求运动时间，一般选用导出公式v2－v＝2ax.　　由③④得：＝v
一、位移公式的应用
例1 由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第1 s内通过的位移为0.4 m，问：
(1)汽车在第1 s末的速度为多大？
(2)汽车在第2 s内通过的位移为多大？
解析　(1)由x＝at2得
a＝＝ m/s2＝0.8 m/s2，
所以汽车在第1 s末的速度为
v1＝at＝0.8×1 m/s＝0.8 m/s.
(2)汽车在前2 s内的位移为x′＝at′2＝×0.8×22 m＝1.6 m，所以第2 s内汽车的位移为：x2＝x′－x＝1.6 m－0.4 m＝1.2 m.
答案　(1)0.8 m/s　(2)1.2 m
(1)解此类问题时，可以画草图帮助分析．
(2)对于运动学问题，往往可以用多种方法解决，例如本题，同学们可以思考一下其他的方法．
(3)运动学问题中利用位移公式解题时，往往忽视公式中物理量的方向，公式x＝v0t＋at2中，v0、a、x都是矢量．
(4)求第n秒内的位移要用公式Δxn＝xn－xn－1，而同学们往往求成前n秒的位移.
二、位移与速度关系式的应用
例2 美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统．已知“F－15”型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5.0 m/s2，起飞的最小速度是50 m/s，弹射系统能够使飞机具有的最大速度为30 m/s，则：
(1)飞机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？
(2)航空母舰的跑道至少应该多长？
解析　(1)飞机在跑道上运动的过程中，当有最大初速度、最大加速度时，起飞所需时间最短，故有
t＝＝ s＝4.0 s.
则飞机起飞时在跑道上的加速时间至少为4.0 s.
(2)x＝＝ m＝160 m.
答案　(1)4.0 s　(2)160 m
三、v－t图象的物理意义及应用
例3 某一做直线运动的物体，其v－t图象如图2－3、4－6所示，根据图象求：
图2－3、4－6
(1)物体距出发点最远的距离；
(2)前4 s内物体的位移大小；
(3)前4 s内物体的路程．
解析　(1)3 s末时，物体距出发点最远，此时xmax＝×3×4 m＝6 m.
(2)前4 s内，位移x＝×3×4 m－×1×2 m＝5 m.
(3)前4 s内，路程s＝×3×4 m＋×1×2 m＝7 m.
答案　(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m
v－t图象中，图线与时间轴所围面积表示位移，面积在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负，本题中0～3 s内位移为正，3～4 s内位移为负，即物体在3 s末开始反向运动.
四、公式的综合应用
例4 一辆汽车在高速公路上以30 m/s的速度匀速行驶，由于在前方出现险情，司机采取紧急刹车，刹车时加速度的大小为5 m/s2，求：
(1)汽车刹车后20 s内滑行的距离．
(2)从开始刹车汽车滑行50 m所经历的时间．
(3)在汽车停止前3 s内汽车滑行的距离．
解析　(1)由于v0＝30 m/s，a＝－5 m/s2，由v＝v0＋at，汽车的刹车时间t0为：
t0＝＝ s＝6 s
由于t0，a随时间减小
B.＝，a恒定
C.<，a随时间减小
D．无法确定
5．用相同材料做成的A、B两木块的初速度之比为2∶3，它们以相同的加速度在同一粗糙水平面上沿直线滑行直至停止，则它们滑行的(　　)
A．时间之比为1∶1
B．时间之比为2∶3
C．距离之比为4∶9
D．距离之比为2∶3
解析　两木块以一定的初速度做匀减速直线运动直至停止，计算其运动时间和位移．由匀变速直线运动的速度公式v＝v0＋at，得t＝＝－，因为加速度相同，因此运动时间之比就等于初速度之比，选项B正确；将其看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式x＝at2，知位移之比等于运动时间的平方之比，选项C正确．
6．如图2－3、4－8所示的是一质点做直线运动的v－t图象，则可知(　　)
图2－3、4－8
A．0～2 s与4 s～5 s内质点加速度方向相反
B．0～2 s与4 s～5 s内质点速度方向相反
C．2 s～4 s内质点加速度最大
D．0～5 s的位移为10.5 m
解析　由图象可知0～2 s内的加速度a1＝ m/s2＝1.5 m/s2；2 s～4 s内a2＝0；4 s～5 s内a3＝ m/s2＝－3 m/s2，故A正确，C错．图象上0～5 s内的速度均为正值，表示速度方向都与正方向相同，故B错.0～5 s内的位移x＝ m＝10.5 m，故D正确．
7．一辆汽车沿平直路面以15 m/s的速度行驶，紧急刹车时，做匀减速运动，加速度大小为5 m/s2，求：
(1)汽车刹车5 s时的速度；
(2)从开始刹车到停止，汽车滑行的距离．
答案　(1)零　(2)22.5 m
解析　汽车刹车后做匀减速运动，初速度v0＝15 m/s，加速度与初速度方向相反，a＝－5 m/s2，减速停止的时间为t，所以：
(1)滑行停止的时间t＝＝ s＝3 s；汽车刹车3 s时已经停止了，所以5 s时汽车的速度为零．
(2)汽车滑行的距离x＝v0t＋at2＝15×3＋×(－5)×32 m＝22.5 m.
8．一辆车以10 m/s的速度匀速行驶，在距车站25 m时开始制动，使车匀减速前进，到车站时恰好停下．求：
(1)车匀减速行驶时的加速度的大小；
(2)车从制动到停下来经历的时间．
答案　(1)2 m/s2　(2)5 s
解析　(1)由v2－v＝2ax得0－100＝2a×25，解得a＝－2 m/s2，即加速度的大小为2 m/s2.
(2)车从制动到停下来经历的时间t＝＝＝5 s.
题型1 基本公式的应用
例1 物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求：
(1)物体在2 s内的位移；
(2)物体在第2 s内的位移；
(3)物体在第二个2 s内的位移．
答案　(1)2 m　(2)1.5 m　(2)6 m
解析　2 s内的位移是前2 s内的位移，第2 s内的位移是第1 s末到第2 s末这1 s内的位移；第二个2 s内的位移是第2 s末到第4 s末这2 s内的位移．
由匀变速直线位移公式x＝v0t＋at2
(1)x1＝at＝×1×22 m＝2 m
(2)第1 s末的速度(第2 s初的速度)v1＝v0＋at＝1 m/s，故第2 s内位移x2＝v1t＋at2＝(1×1＋×1×12) m＝1.5 m
(3)第2 s末的速度v2＝v0＋at′＝1×2 m/s＝2 m/s，也是物体第二个2 s的初速度，故物体在第2个2 s内的位移x3＝v2t′＋at′2＝(2×2＋×1×22) m＝6 m
拓展探究　1.上例中若物体以大小为2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，停止运动前2 s内的位移是整个位移的，求物体的初速度．
答案　8 m/s
解析　把此物体做匀减速运动过程看作初速度为零的、以原加速度做反向的匀加速直线运动，则根据x＝at2得最后2 s内的位移x1＝at，t1＝2 s
全过程运动时间为t，位移x＝at2.故＝＝，解得t＝4 s
故逆向运动的末速度v＝at＝2×4 m/s＝8 m/s
即原匀减速直线运动的初速度v0＝v＝8 m/s
2．汽车以10 m/s的速度行驶，刹车后的加速度大小为3 m/s2，求它向前滑行12.5 m后的瞬时速度．
答案　5 m/s
解析　设汽车初速度方向为正方向，则v0＝10 m/s，a＝－3 m/s2，x＝12.5 m
由v2－v＝2ax得v2＝v＋2ax，所以v＝±5 m/s.因为汽车并没有返回，故－5 m/s舍去，即v＝5 m/s.
1．当v0＝0时，位移公式可以简化为x＝at2应用．
2．第n s内位移的求解可用n s内的位移减去(n－1) s内的位移．
3．逆向思维法：匀减速至零的运动过程可看作初速度为零的、以原加速度反向运动的匀加速直线运动．
4．求匀减速运动的位移时要首先判定减速到零所需要的时间．
5．在题目中未告诉时间也不涉及时间的求解时，往往用公式v2－v＝2ax解答有关问题.
v－t图象的应用
例2 从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，汽车从开出到停止总共历时20 s，行进了50 m，求汽车的最大速度．
答案　5 m/s
解析　汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最高速度后，立即改做匀减速运动，可以应用解析法，也可应用图象法．
解法一：设最高速度为vmax，由题意，可得方程组
x＝a1t＋vmaxt2＋a2t
vmax＝a1t1,0＝vmax＋a2t2
解之得vmax＝5 m/s
解法二　应用图象法，作出运动全过程中的v—t图象，如下图所示，v—t图象与t轴围成三角形的面积与位移等值，故
所以vmax＝＝ m/s＝5 m/s.
拓展探究　若一物体以v0＝5 m/s的初速度沿光滑斜面向上运动，其v－t图象如图2－3、4－1所示，求：2 s内的位移？
图2－3、4－1
1.利用v－t图象处理匀变速直线运动的方法
(1)选取一个过程为研究过程．
(2)分析该段图线对应的纵坐标情况分析速度，分析该段图线的倾斜程度分析加速度．
(3)利用v－t图象与时间轴所围成的面积分析物体的位移．
(4)画出运动过程v－t图象直观展现运动情况．
2．v－t图象中，在t 轴上方包围面积表示位移为正，在下方包围的面积表示位移为负.
多过程问题的分析
例3 正以30 m/s的速率运行的列车，接到前方小站的请求，在该站停靠1 min，接一个危重病人上车．司机决定以大小为0.6 m/s2的加速度匀减速运动到小站且恰在小站停下，停车1 min后以1.0 m/s2的加速度匀加速启动，恢复到原来的速度行驶．求由于临时停车，共耽误了多长时间．
答案　100 s
解析　以列车原运动方向为正方向，设列车匀减速运动时间
为t1，a1＝－0.6 m/s2
由v＝v0＋at得t1＝＝ s＝50 s
设减速过程中行驶路程为x1，则
x1＝v0t1＋a1t
＝30×50 m＋×(－0.6)×502 m＝750 m
停靠时间t2＝60 s
设加速运动时间为t3
则由v0＝a2t3得t3＝＝ s＝30 s
加速过程中行驶路程
x2＝a2t＝×1×302 m＝450 m
从开始制动到恢复原来速度运动共经历时间
t＝t1＋t2＋t3＝50 s＋60 s＋30 s＝140 s
若列车以原速度匀速驶过x＝x1＋x2路程，需时间
t′＝＝ s＝40 s
故共耽误时间Δt＝t－t′＝140 s－40 s＝100 s
1.物体的位移随时间变化的函数关系是x＝(4t＋2t2) m，由它可知运动的初速度、加速度分别是(　　)
A．0,4 m/s2　　　　　　　　B．4 m/s,2 m/s2
C．4 m/s,1 m/s2
D．4 m/s,4 m/s2
解析　将x＝4t＋2t2与标准方程x＝v0t＋at2相对照知，v0＝4 m/s，a＝2，即a＝4 m/s2，选项D正确．
2．物体从静止做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则(　　)
A．第3 s内平均速度是3 m/s
B．物体的加速度是1.2 m/s2
C．前3 s内的位移是6 m
D．3 s末的速度是3.6 m/s
解析　第3 s内的平均速度＝＝ m/s＝3 m/s，A正确；前3 s内的位移x3＝at，前2秒内的位移x2＝at，故Δx＝x3－x2＝at－at＝3 m，即a·32－a·22＝3 m，解得a＝1.2 m/s2，选项B正确；将a代入x3得x3＝5.4 m，C错误；v3＝at3＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，D亦正确．
3．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s与开始刹车后6 s汽车通过的位移之比为(　　)
解析　汽车刹车后减速到零的时间t0＝＝ s＝4 s．故2 s时的位移x1＝v0t＋at2＝(20×2－×5×22) m＝30 m，6 s时的位移x2＝·t0＝10×4 m＝40 m，位移之比x1：x2＝3∶4，选项C正确．
图2－3、4－2
4．甲、乙两质点同时、同地点的向同一方向做直线运动，它们的v－t图象如图2－3、4－2所示，则(　　)
A．乙始终比甲运动得快
B．乙在2 s末追上甲
C．前4 s内乙的平均速度等于甲的速度
D．乙在追上甲时距出发点40 m远
解析　由v－t图象知，2 s前乙的速度比甲的速度小，甲在前，乙在后，甲、乙之间的距离越来越大，2 s后乙的速度比甲的速度大，甲仍在前，乙在后，但甲、乙之间的距离越来越小，直到4 s时甲、乙相遇，2 s时甲、乙相距最远，故选项C、D正确．
5．物体的初速度是v0，以加速度a做匀加速直线运动，如果要使速度增加到初速度的n倍，则经过的位移是(　　)
解析　由速度位移公式v2－v＝2ax得x＝＝＝(n2－1)．
6．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图中(如图2－3、4－3所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20秒的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是(　　)
图2－3、4－3
A．在0～10秒内两车逐渐靠近
B．在10～20秒内两车逐渐远离
C．在5～15秒内两车的位移相等
D．在t＝10秒时两车在公路上相遇
解析　根据v－t图线与时间轴所围面积表示位移可知：在0～10秒内两车的位移差逐渐增大即两车在远离，A错；
在10～20秒内甲的位移增加得多，两车在靠近，到20秒末两车相遇，B错；
在5～15秒内由图线的对称关系知两图线在此时间段与时间轴所围面积相等，故两车位移相等，C正确；v－t图线的交点表示该时刻速度相等，D错误．
7．一物体做匀加速直线运动，初速度为0.5 m/s，第7 s内的位移比第5 s内的位移多4 m．求：
(1)物体的加速度．
(2)物体在5 s内的位移．
答案　(1)2 m/s2　(2)27.5 m
解析　利用相邻的相等时间内的位移差公式Δx＝aT2求解，令T＝1 s，得a＝＝ m/s2＝2 m/s2.再由位移公式可求得x5总＝v0t＋at2＝(0.5×5＋×2×52) m＝27.5 m.
8．某种类型的飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速运动，加速度大小为4.0 m/s2，飞机速度达到80 m/s时，离开地面升空．如果在飞机达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行员立即使飞机紧急制动，飞机做匀减速运动，加速度的大小为5.0 m/s2，请你为该类型的飞机设计一条跑道，使在这种特殊的情况下飞机停止起飞而不滑出跑道，你设计的跑道长度至少要多长？
答案　1 440 m
解析　飞机从静止开始做匀加速运动到离开地面升空过程中滑行的距离为x1，v＝2a1x1，则x1＝＝800 m.
飞机从速度80 m/s做匀减速运动到静止的过程中，滑行的
距离为x2，－v＝2a2x2，则x2＝＝640 m，所以跑道至少长为x＝x1＋x2＝1 440 m.
9．高速公路给人们带来极大的方便，但是由于在高速公路上行驶的车辆速度很大，雾天曾出现过几十辆车追尾连续相撞的事故．假设有一轿车在某高速公路的正常行驶速度为120 km/h，轿车产生的最大加速度为大小8 m/s2，如果某天有薄雾，能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)约为37 m，设司机的反应时间为0.6 s，为了安全行驶，轿车行驶的最大速度是多少？
答案　72 km/h
解析　在反应时间内车速不变，汽车继续做匀速运动，刹车后匀减速至停止，设原来车速为vm，由运动学规律得0.6vm＋≤37，所以vm≤20 m/s，即最大速度为72 km/h.
10．汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2 s速度变为6 m/s，求：
(1)刹车后2 s内前进的距离及刹车过程中的加速度．
(2)刹车后前进9 m所用的时间．
(3)刹车后8 s内前进的距离．
答案　(1)16 m　2 m/s2　(2)1 s　(3)25 m
解析　(1)汽车刹车后做匀减速运动，由a＝求得a＝－2 m/s2，再由位移公式x＝v0t＋at2可求得x＝16 m，也可由平均速度公式＝＝，求得x＝16 m.
(2)由位移公式x＝v0t＋at2代入数值
可得：t1＝1 s，t2＝9 s．将t2＝9 s代入速度公式vt＝v0＋at可得vt＝－8 m/s，即汽车刹车后又反向运动到位移是9 m处，这是不可能的，所以刹车后前进9 m所用时间为1 s.
(3)设汽车刹车所用最长时间为t，则经时间t汽车速度变为零，由v＝v0＋at可得t＝5 s，可见汽车刹车仅用了5 s，在8 s的时间内，汽车有3 s静止不动，因此，x＝v0t＋at2＝25 m或x＝t＝25 m.
习题课　匀变速直线运动规律的应用
要点一、三个基本公式
匀变速直线运动有三个基本关系式，即
1．速度时间关系式：v＝v0＋at①
2．位移时间关系式：x＝v0t＋at2②
3．位移速度关系式：v2－v＝2ax③
我们运用基本关系式求解有关问题时应注意
(1)三个公式均为矢量式，应用时要选取正方向，若x、a、v、v0的方向与正方向相反应取负值；
(2)其中①②两式是匀变速直线运动的基本公式，③式是它们的导出式，三个式子中只有两个是独立的；
(3)①式中不涉及x，②式中不涉及v，③式中不涉及t，抓住各公式特点，根据题意灵活选取公式求解；
(4)三个公式共涉及五个量，若知其中三个量，可选取两个公式求出另外两个量．
匀变速直线运动的几个重要推论
1．某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即v＝＝.
证明：物体在匀变速直线运动中，设任意一段时间t的初速度为v0，位移为x.
t时间内的位移：x＝v0t＋at2①
t时间内的平均速度为：＝②
由①②得：＝v0＋at＝③
t时间的中间时刻的速度为：v＝v0＋a＝④
由③④得：＝v.
2．物体做匀变速直线运动，相邻的相等的时间间隔T内的位移差是一个恒量，即Δx＝xn－xn－1＝aT2(此结论经常被用来判断物体是否做匀变速直线运动)．
证明：设物体在匀变速直线运动中，加速度为a，经过任意一点A的速度为v0，从A点开始，经两个连续相等的时间T的位移分别是x1和x2，如图1所示．
根据运动学公式：
x1＝v0T＋aT2
x2＝v1T＋aT2
v1＝v0＋aT
两个连续的相等的时间内的位移之差：
Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT2
因为T是个恒量，小车的加速度也是个恒量，因此Δx也是个恒量．即：只要物体做匀变速直线运动，它在任意两个连续相等的时间内的位移之差等于一个常数．
3．某段位移中点的瞬时速度等于初速度和末速度的平方和的一半的平方根，即v＝.
4．初速度为零的匀变速直线运动的比例式(T为等时间间隔)
(1)1T末、2T末、3T末、……、nT末瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶……∶vn＝1∶2∶3∶……∶n
由速度公式v＝at，得v1＝aT，v2＝2aT，v3＝3aT，……，vn＝naT
所以v1∶v2∶v3∶……∶vn＝1∶2∶3∶……∶n
(2)1T内、2T内、3T内、……nT内的位移之比为
x1∶x2∶x3∶……∶xn＝12∶22∶32∶……∶n2
由位移公式x＝at2得x1＝aT2，x2＝a(2T)2，
x3＝a(3T)2，……，xn＝a(nT)2
所以x1∶x2∶x3∶……∶xn＝12∶22∶32∶……∶n2
(3)第1个T内，第二个T内，第三个T内，……，第n个T内位移之比为
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xn＝1∶3∶5∶……∶(2n－1)
由位移公式x＝at2得xⅠ＝aT2
xⅡ＝a(2T)2－aT2＝aT2
xⅢ＝a(3T)2－a(2T)2＝aT2
xn＝a(nT)2－a[(n－1)T]2＝aT2
所以xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xn＝1∶3∶5∶……∶(2n－1)
(4)通过连续相等的位移所用时间之比为
t1∶t2∶t3∶……∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶……∶(－)
由x＝at2知t1＝
通过第二段相同位移所用时间
t2＝ － ＝ (－1)
同理t3＝ － ＝ (－)
则t1∶t2∶t3∶……∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶……∶(－)
追及和相遇问题
1．追及、相遇问题的特征
两物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞等问题，解答此类题的关键条件是：两物体能否同时到达空间某位置．
2．解追及、相遇问题的思路
(1)根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图；
(2)根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中；
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是关键；
(4)联立方程求解，并对结果进行简单分析．
3．分析追及、相遇问题时要注意的问题
(1)分析问题时，一定要抓住一个条件两个关系．
一个条件是：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等．
两个关系是：时间关系和位移关系．
时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等，而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两个物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有裨益．
(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动．
(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中隐含的条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件.
一、匀变速直线运动规律的应用
例1 有一个做匀变速直线运动的质点，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求质点的初速度和加速度大小．
a== m/s2=2.5 m/s2
方法四：用推论公式求解
由x2-x1=aT2得64-24=a·42
所以a=2.5 m/s2，再代入x1=vAT+aT2
可求得vA=1 m/s
答案　v0=1 m/s　a=2.5 m/s2
(1)运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力．从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而培养解题能力．
(2)对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用判别式Δx＝aT2求解，这种解法往往比较简捷.
二、初速度为零的匀变速直线运动推论的应用
例2 一滑块自静止开始从斜面顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求：
(1)第4 s末的速度．
(2)运动后7 s内的位移．
(3)第3 s内的位移．
解析　(1)因为v0＝0，所以vt＝at，即vt∝t
故v4∶v5＝4∶5
所以第4 s末的速度
v4＝v5＝×6 m/s＝4.8 m/s
(2)前5 s的位移
x5＝ t＝t＝×5 s＝15 m
由于x∝t2，所以x7∶x5＝72∶52
故7 s内位移x7＝×x5＝×15 m＝29.4 m
(3)利用xⅠ∶xⅢ＝1∶5，x1∶x5＝12∶52＝1∶25
故x1＝x5＝×15 m＝0.6 m
所以第3 s内的位移xⅢ＝5x1＝5×0.6 m＝3 m
答案　(1)4.8 m/s　(2)29.4 m　(3)3 m
利用比例式处理运动学问题时要注意其适用条件——初速度为零的匀变速直线运动，若物体做匀减速直线运动且末状态速度为零，则可把物体的运动看做是反方向的匀加速运动，再用比例关系求解.
三、追及运动问题
例3 一小汽车从静止开始以3 m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6 m/s的速度从车边匀速驶过．
(1)汽车从开动后到追上自行车之前，要经多长时间两者相距最远？此时距离是多少？
(2)汽车什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少？
解析　解法一　汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车速度是定值，当汽车的速度还小于自行车的速度时，两者距离越来越大，当汽车的速度大于自行车的速度时，两者距离越来越小．所以当两车的速度相等时，两车之间距离最大．
有v汽＝at＝v自，t＝＝2 s.
Δx＝v自·t－at2＝6×2 m－×3×4 m＝6 m.
解法二：利用相对运动求解
以自行车为参考系，汽车追上自行车之前初速v0＝v汽－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s，加速度a＝a汽－a自＝3 m/s2.
汽车远离自行车减速运动(与自行车对地运动方向相反)，当末速为vt＝0时，相对自行车最远．
vt－v0＝at，t＝－＝ s＝2 s，v－v＝2ax，x＝－＝－6 m.
负号表示汽车比自行车落后．
解法三：极值法
设汽车在追上自行车之前经时间t相距最远．
Δx＝x自－x汽＝v自·t－at2＝6t－t2.
利用二次函数求极值条件知
当t＝－＝ s＝2 s时，Δx最大，
故Δxmax＝6×2 m－×22 m＝6 m.
由几何关系知，相遇时间为t′＝4 s，此时v汽＝2v自＝12 m/s.
答案　(1)2 s后两者相距最远，距离为6 m．　(2)4 s后追上自行车，汽车的速度为12 m/s.
1.汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s后停止运动，那么，在这连续的3个1 s内汽车通过的位移之比为(　　)
A．1∶3∶5
B．5∶3∶1
C．1∶2∶3
D．3∶2∶1
2．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，经过斜面中点时速度为2 m/s，则物体到达斜面底端时的速度为(　　)
3．如图2－4－1所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与在平面上的加速度a2的大小关系为(　　)
B．a1＝2a2
D．a1＝4a2
解析　物体在斜面上初速度为零，设末速度为v，则有v2－0＝2a1x1.同理，在水平面上有0－v2＝2a2x2，所以a1x1＝a2x2，故a1＝2a2，应选B.本例是一个匀加速直线运动与一个匀减速直线运动的“连接”运动，解题时要注意到匀加速直线运动的末速度就是匀减速直线运动的初速度．
4．由静止开始匀加速运动的物体，3 s末与5 s末速度之比为________，前3 s与前5 s内位移之比为________，第3 s内与第5 s内位移之比为________．
答案　3∶5　9∶25　5∶9
解析　由初速度为零的匀加速直线运动的规律知，第1 s末、第2 s末、第3 s末、……、第n s末的速度之比为1∶2∶3∶……∶n，第1 s，第2 s、第3 s、……第n s的位移之比为1∶3∶5∶……∶(2n－1)．所以第3 s末与第5 s末的速度之比为3∶5，前3 s与前5 s内的位移之比为32∶52＝9∶25，第3 s与第5 s内的位移之比为5∶9.
5．做匀加速直线运动的质点，连续两个1 s内的平均速度之差是3 m/s，则质点运动的加速度为________．
答案　3 m/s2
解析　设前1 s内的平均速度为v1，后1 s内的平均速度为v2.由v＝知v1、v2对应的中间时刻的瞬时速度．取t＝1 s，则v2＝v1＋at1.又因为v2－v1＝3 m/s，所以得加速度
a＝＝ m/s2＝3 m/s2.
6．物体从静止开始以2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则前6 s内的平均速度是________m/s.
解析　解法一：前6 s内的位移
x＝v0t＋at2
＝×2×62 m
所以＝＝6 m/s.
解法二：前6 s内的平均速度等于3 s末的瞬时速度，则＝v0＋at′＝2×3 m/s＝6 m/s.
匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度等于该段时间内中点时刻的瞬时速度．推导如下：
由v＝v0＋at知，v＝v0＋a·，又x＝v0t＋at2，所以＝v0＋at，所以v＝＝.
7．由于刹车，汽车以10 m/s的速度开始做匀减速直线运动，若它在前2 s内的平均速度为8 m/s，则汽车在前8 s内的位移为多大？
答案　25 m
解析　设第2 s末的速度为v，在匀变速运动中，由＝，得
v＝2－v0＝6 m/s，再由v＝v0＋at可得汽车刹车的加速度是：
a＝＝＝－2 m/s2.
假定汽车在刹车后经T时间停下，则T＝＝ s＝5 sv2
B．当物体做匀减速直线运动时，v1>v2
C．当物体做匀速直线运动时，v1＝v2
D．当物体做匀减速直线运动时，v1v.
2．一物体由v0开始做匀减速运动，经5 s停下，第4 s内的位移大小为x，则物体运动的加速度为(取初速度方向为正方向)(　　)
3．一个物体做匀变速直线运动，若运动的时间之比为t1∶t2∶t3∶……＝1∶2∶3∶……，下面有三种说法：
①相应的运动距离之比一定是x1∶x2∶x3∶……＝1∶4∶9∶……
②相邻的相同时间内的位移之比一定是x1∶x2∶x3∶……＝1∶3∶5∶……
③相邻的相同时间内位移之差值一定是Δx＝aT2，其中T为相同的时间间隔．
以上说法正确的是(　　)
A．只有③正确
B．只有②③正确
C．都是不正确的
D．都是正确的
4．一质点由静止开始做匀加速直线运动，它在第10 s内的位移为19 m，则其加速度大小为(　　)
A．1.9 m/s2
B．2.0 m/s2
C．9.5 m/s2
D．3.0 m/s2
5．一物体以初速度v0＝20 m/s沿光滑斜面匀减速向上滑动，当上滑距离x0＝30 m时，速度减为v0/4，物体恰滑到斜面顶部停下，则斜面长度为(　　)
6．把物体做初速度为零的匀加速直线运动的总位移分成等长的三段，按从开始到最后的顺序，经过这三段位移的平均速度之比为(　　)
A．1∶3∶5
B．1∶4∶9
D．1∶(＋1)∶(＋)
7．一物体从斜面顶端沿斜面由静止开始做匀加速直线运动，最初3 s内的位移为x1，最后3 s内的位移为x2，已知x2－x1＝6 m，x1∶x2＝3∶7，求斜面的总长．
答案　12.5 m
解析　由题意知，物体做初速度为零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3 s．又知＝，x2－x1＝6 m，解得x1＝4.5 m，x2＝10.5 m．由于连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶……∶(2n－1)，故x2＝(2n－1)x1，可知10.5＝(2n－1)×4.5，解得n＝.又因为x总＝n2x1，得斜面总长x总＝2×4.5 m＝12.5 m.
8．一个做匀加速直线运动的物体，从2 s末到6 s末的位移为24 m，从6 s末到10 s末的位移为40 m，则该物体的加速度为多大？在接下来的4 s内它将发生多大的位移？
答案　1 m/s2　56 m
解析　注意第2 s末到第6 s末的时间间隔是4 s，第6 s末到10 s末的时间间隔也是4 s，它们是两段相邻的相等时间，对于匀变速运动，在相邻的相等时间内有：Δx＝at2，则a＝＝ m/s2＝1 m/s2.在接下来的4 s内发生的位移为x，则Δx1＝Δx2＝at2，即x－x2＝x2－x1，得x＝56 m.
9．客车在公路上以20 m/s速度做匀速直线运动，发现前方105 m处有一载重汽车以6 m/s匀速行驶，客车立即关掉油门，以a＝－0.8 m/s2的加速度匀减速行驶，问：
(1)客车司机仅靠此举是否可避免客车和货车相撞；
(2)如要保证客车和货车不相撞，在其他条件不变的前提下，客车的加速度至少应为多大？
答案　(1)不能避免客车与货车相撞．
(2)a＝－0.93 m/s2
10．甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲以初速度v1＝16 m/s、加速度a1＝2 m/s2做匀减速运动，乙以初速度v2＝4 m/s、加速度a2＝1 m/s2做匀加速运动．求：
(1)两车再次相遇前两者间的最大距离；
(2)两车再次相遇所需的时间．
答案　(1)24 m　(2)8 s
解析　(1)设经过时间t1两车相距最远，此时甲、乙车的速度分别为v1′＝v1－a1t1
v2′＝v2＋a2t1
甲、乙车相距最远的条件v1′＝v2′，则
v1－a1t1＝v2＋a2t1
解得t1＝＝ s＝4 s.
在时间t1＝4 s内，甲、乙车的位移分别为
x1＝v1t1－a1t12
x2＝v2t1＋a2t12
甲、乙两车间距离为
Δx＝x1－x2
　＝(v1t1－a1t12)－(v2t1＋a2t12)
　＝(16×4－×2×42) m－(4×4＋×1×42) m
即两车相遇前相距最大距离为24 m.
(2)设经过时间t2两车相遇，在时间t2内两车的位移分别为
x1＝v1t2－a1t22　x2＝v2t2＋a2t22
两车相遇条件x1＝x2，则
v1t2－a1t22＝v2t2＋a2t22
代入已知数化简得t2(12－t2)＝0
解得t2＝8 s，t2′＝0(舍去)
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