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海淀分局备案编号91北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(第一学期)
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91北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(第一学期)
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题；杨小远；（数学、信息、行为教育部重点实验室，北京航空航天；一、介绍；北航《工科数学分析》课程是面向全校的基础课程,计；二、第一次考试题目及答案；1.计算下面各题（满分40分，每个题目5分）；1)；计算极限x?0；e1；2)求下面无穷小的阶；x?0?.3)设f??sinx?；cosx；?0?x?p?求f'?x?.；?x
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题 杨小远（数学、信息、行为教育部重点实验室，北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京，100191）一、 介绍北航《工科数学分析》课程是面向全校的基础课程,计算机学院、电子信息工程学院、自动化科学与电气工程学院、航空科学与工程、物理科学与核能工程学院主修这门课程. 《工科数学分析》总学时240，一年学完.由于课程难度大，而且学时安排比较密集，因此每学期的考试按照阶段分两次进行，各占总成绩的50%. 第一部分考试内容涉及数列极限，函数极限与连续，导数与微分.第二部分考察的内容是泰勒公式、不定积分、定积分、数项级数.本文提供年度第一学期的考试题目及标准答案.二、第一次考试题目及答案1. 计算下面各题（满分40分，每个题目5分）1)计算极限 x?0e1.2) 求下面无穷小的阶x?0?. 3) 设f??sinx?cosx?0?x?p? 求f'?x?.求?x?tsint,??4) 设????y?tcost.dy. dx5) 设f?x??x?2x?3e,求f2???x?n??x?.6) 求f?x??lnx在x?2的n阶Taylor展开,并写出peano余项. 7) 设函数f?x??e, 判断函数的凹凸性.x?1?m?xsin,x?0,8) 已知f?x???m为正整数. x?????0,x?0.求: m满足什么条件，函数在x?0连续，-------------------------------------------------------------------------------基金项目：《北京市精品课程建设》项目和校重点教改项目《工科数学分析开放式教学研究与实践》资助. 作者简介：杨小远(1964-)，女，籍贯：江苏，博士，北京航空航天大学数学与系统科学学院教授.主要研究方向计算数学、应用调和分析和图像处理,电子邮箱：xiaoyuanyang@.m满足什么条件，函数在x?0可导.2. 证明下面问题（10分）1?s?, 证明数列?x? ? 设s?0,x1?0,xn?1??xn?n2?xn??3. 证明下面问题（10分） 设数列?xn?满足xn?1?xn?4. 证明下面不等式 (10 分)1, 用Cauchy收敛定理证明?xn?收敛. 2nx2e?sinx?1?,x??0,p?.2?x5. （10分）设函数f?x?和g?x?在?a,b?存在二阶导数，并且g''?x??0,且
f?a??f?b??g?a??g?b??0，证明下面问题:1）在?a,b?内g?x??0；f?q?f''?q?2） 在?a,b?内至少存在一点在q,满足. ?''gqgq6.
(10分) 设函数f?x?在?0,1?存在二阶导数,f?0??0,f?1??1,并f'?0??f'?1??0,求解和证明下面问题.1) 写出f?x?在x?0,x?1的Lagrange 余项的Taylor公式;2) 证明在?0,1?至少存在一点q??0,1?满足f''?q??4. 7.
(10分）证明下面问题设f?x?定义在?a,b?上. 如果对?a,b?内任何收敛的点列?xn?都有limf?xn?存在, 则n??f在?a,b?上一致连续.8. (10分）附加题 (下面两个题目任选其一)1) 设函数f122nnx?Ccosx?Ccosx????1Ccosx, 证明下面问题 ????nnnnn?1a) 对于任意的自然数n, 方程f?x??n?1?p在?中仅有一根. 0,??2?2?pb) 设xn??0,?,满足f????2?xn??n1p, 则limxn?.n??2222) 用有限覆盖定理证明下面问题设函数f?x?定义在?a,b?, 对于?x0??a,b?, limx?x0f?x?都存在, 则f?x?在?a,b?上有界附答案1. 计算下面各题1）解：利用ex?1?x2,sinx?x,x?0,有 2x?0e1?x?0x?01?,.
22）解： 由于 ??1?sinx?1????????1??sinx??1?????cosx?因此lim?2为1阶无穷小.x?0x 3）解： 由于cosxf??sinx?cosxlnsinx'?ecosxlnsinx,所以2??cosx??sinxlnsinx???sinx??f?x???e'??ecosxlnsinx?cos2x?cosx???sinx??sinxlnsinx??.???sinx??dydycost?tsint4）解： ??.cost?tsintdtdt5）解： 由牛顿-莱布尼滋公式 ?n?'02?x?n?12?x?n?1?f?n??x?????x2?2x?3?e?x???Cnx?2x?3e?Cx?2x?3e?????????n???2?Cn?x2?2x?3?n???''??e?x??n?2?n?1n?2???1??x2?2x?3?e?x???1?n?2x?2?e?x???1?n?n?1?e?xn???1?e?x???x2?2?n?1?x?n2?3n?3???.?6）解：f?x??lnx?ln???x?2??2??ln2?1? 3????x?2?x?2???ln2?ln?1?
??2?2??n?x?2?k?1?x?2?n??ln2????1??
?ln2?ln?1??ox?2. ???????2??2k?1k7）
解：由于f''?x???ex??ex,因此为凸函数.''8）
解：m?1，函数在x?0连续,m?2，函数在x?0可导数.
2． 证明分为两部分1) 首先数列单调递减有下界，由于 1?s??xn?1??x??xn?1? n?2?xn?因此 ?1?s?1?s1?????xn?1?xn??x??x??x??0. ?n?nn????2?xn?2?xn?2所以?xn?单调递减.2) 下面证明数列?xn?令limxn?1?b,则??b?n??1??2?s???b，解得b?（负根舍去） ??b?3. 证明: 对任意自然数p,根据已知条件递推得到xn?P?xn?xn?P?xn?P?1?xn?P?1?xn?P?2?.......?xn?1?xn?2n?P?2??1?p???????1?????????1???12??????n??.n1?????22??????2????2?n?P?111?........??11?11?????........?1
?nn?P?1P?2????2222所以?0?e?1,?N??ln
因此结论得证.4.
证明: 由于????1/ln2??1,n?N,?p?N:xn?p?xn?e.??ex2F?x??1??e?x?sinx,x??0,p?,F'?x??x?ex?cosx,x??0,p?
2F''?x??1?ex?sinx,x??0,p?.4因此当x??0,p?,F''?x??0,又因为F'?0??0，所以当x??0,p?,F'?x??0.x2进一步由于，F?0??0,所以F?x??1??e?x?sinx?0,x??0,p?，结论得证.25.
1) 用反证法证明. 假设存在q??a,b?,g?q??0. 则根据拉格朗日中值定理
g?a??g?q??g'?x1??a?q??0得到 g'?x1??0,x1??a,q?g?b??g?q??g'?x2??b?q??0得到g'?x2??0,x2??q,b?再一次应用拉格朗日中值定理g'?x1??g'?x2??g''?x3??x1?x2??0,, 得到g''?x3??0,x3??x1?x2? 与已知条件矛盾,结论得证.
构造辅助函数F?x??f?x?g?x??f''?x?g?x?，则F'?x??f?x?g''?x??f根据罗尔定理,存在q??a,b?''?x?g?x?，F?a??F?b??0，F'?q??f?q?g''?q??f''?q?g?q??0, 因此结论得证. 6. 证明:1''f?x1?x2,x1介于0,x之间. 21''2'f?x??f?1??f?1??x?1??f?x1??x?1?,x2介于x,1之间.21''1''1''2'222)
由于f?x??f?0??f?0?x?f?x1?x?f?x1?x?1?f?x1??x?1?.2221) f?x??f?0??f'?0?x?
因此1? 1''12f?x1?x2?f''?x1x?1?22?2212max?f''?x1?,f''?x1??x2??x?1?2???? 而 x??x?1?在?0,1?区间上的最大值max结论得证. 1,
因此 2?f''?x1?,f''?x1???4,5包含各类专业文献、生活休闲娱乐、中学教育、各类资格考试、文学作品欣赏、专业论文、幼儿教育、小学教育、应用写作文书、91北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(第一学期)等内容。　
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工科数学分析第1学期期末考试试卷B(
南​航​的
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工​科​数​学​分​析​(​武​忠​祥​)​上​学​期​试​卷
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求哈工大历工数秋季学期期中考试试题，谢谢了！
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工数只要把十套题做了就没问题了，等将近期中的时候肯定有卖工大二区复印社就有卖的。而且，五公寓楼下什么的。题目都是从十套题里出
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多做模拟题
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